Questão 9 (2,0 pts) Resolva\n\n
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□
□ 0,75 □ 1 □ 1,25 □ 1,5 □ 1,75 □ 2,0\n
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e condição inicial:
Informações dadas:
Objetivo: encontrar a solução
que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso usamos a equação característica:
Aplicando a fórmula quadrática:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa. O termo do lado direito é
. Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos uma solução da forma
onde
e
são constantes a determinar. Justificativa curta: usamos essa forma porque
e
são funções senoidais de frequência
; não há ressonância com a solução homogênea (que tem frequência
dentro do fator exponencial), então essa escolha é adequada.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Agrupando coeficientes de
e
:
Queremos que isso seja igual a
, ou seja coeficiente de
igual a
e coeficiente de
igual a
. Assim obtemos o sistema linear:
Passo 5
Resolvemos o sistema para
e
. Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Colocando no mesmo denominador:
Então
Portanto a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
. Avaliando
:
Igualando a
:
Passo 8
Agora usamos
. Primeiro calculamos
. Derivando a parte homogênea:
Agrupando:
Derivada da parte particular:
Logo
Avaliando em
:
Igualando a
:
Como já temos
, segue
Passo 9
Substituímos
e
na solução geral. A solução final é