Questão 9 (2,0 pts) Resolva\n\n \ny^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+8 y=\sin x ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=0 .\n\n\n \square 0,25 \square 0,5 □ 0,75 □ 1 □ 1,25 □ 1,5 □ 1,75 □ 2,0\n

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e condição inicial:
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+8y=\sin x,\qquad y(0)=1,\qquad y^{\prime}(0)=0.
Informações dadas:
\text{equação: }y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+8y=\sin x,çã
\text{condições iniciais: }y(0)=1,\;y^{\prime}(0)=0.çõ
Objetivo: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+8y=0.
Para isso usamos a equação característica:
r^{2}+4r+8=0.
Aplicando a fórmula quadrática:
r=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot8}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{16-32}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{-4\pm 4i}{2}=-2\pm 2i.
Como as raízes são complexas conjugadas -2\pm 2i, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=e^{-2x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_{p} da equação completa. O termo do lado direito é \sin x. Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos uma solução da forma
y_{p}(x)=A\cos x+B\sin x,
onde A e B são constantes a determinar. Justificativa curta: usamos essa forma porque \sin x e \cos x são funções senoidais de frequência 1; não há ressonância com a solução homogênea (que tem frequência 2 dentro do fator exponencial), então essa escolha é adequada.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_{p}:
y_{p}^{\prime}(x)=-A\sin x+B\cos x,
y_{p}^{\prime\prime}(x)=-A\cos x-B\sin x.
Substituímos y_{p}, y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} na equação diferencial:
y_{p}^{\prime\prime}+4y_{p}^{\prime}+8y_{p}=(-A\cos x - B\sin x)+4(-A\sin x + B\cos x)+8(A\cos x + B\sin x).
Agrupando coeficientes de \cos x e \sin x:
\text{coeficiente de }\cos x: -A + 4B + 8A = 7A + 4B,
\text{coeficiente de }\sin x: -B -4A + 8B = -4A + 7B.
Queremos que isso seja igual a \sin x, ou seja coeficiente de \cos x igual a 0 e coeficiente de \sin x igual a 1. Assim obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 7A+4B=0,\\[4pt] -4A+7B=1. \end{cases}]

Passo 5

Resolvemos o sistema para A e B. Da primeira equação:
A=-\frac{4}{7}B.
Substituindo na segunda:
-4\Big(-\frac{4}{7}B\Big)+7B=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{16}{7}B+7B=1.
Colocando no mesmo denominador:
\frac{16}{7}B+\frac{49}{7}B=\frac{65}{7}B=1 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{7}{65}.
Então
A=-\frac{4}{7}B=-\frac{4}{7}\cdot\frac{7}{65}=-\frac{4}{65}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(x)=-\frac{4}{65}\cos x+\frac{7}{65}\sin x.

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=e^{-2x}\big(C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x\big)-\frac{4}{65}\cos x+\frac{7}{65}\sin x.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Avaliando y(0):
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)-\frac{4}{65}\cos 0+\frac{7}{65}\sin 0 = C_{1}-\frac{4}{65}.
Igualando a 1:
C_{1}-\frac{4}{65}=1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=1+\frac{4}{65}=\frac{65+4}{65}=\frac{69}{65}.

Passo 8

Agora usamos y^{\prime}(0)=0. Primeiro calculamos y^{\prime}(x). Derivando a parte homogênea:
\frac{d}{dx}\big[e^{-2x}(C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x)\big] = e^{-2x}\big(-2C_{1}\sin 2x +2C_{2}\cos 2x\big)-2e^{-2x}\big(C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x).
Agrupando:
y_{h}^{\prime}(x)=e^{-2x}\big(-2(C_{1}+C_{2})\sin 2x +2(C_{2}-C_{1})\cos 2x\big).
Derivada da parte particular:
y_{p}^{\prime}(x)=\frac{4}{65}\sin x+\frac{7}{65}\cos x.
Logo
y^{\prime}(x)=y_{h}^{\prime}(x)+y_{p}^{\prime}(x).
Avaliando em x=0:
y^{\prime}(0)=e^{0}\big(-2(C_{1}+C_{2})\cdot 0 +2(C_{2}-C_{1})\cdot 1\big)+\frac{4}{65}\cdot 0+\frac{7}{65}\cdot 1 =2(C_{2}-C_{1})+\frac{7}{65}.
Igualando a 0:
2(C_{2}-C_{1})+\frac{7}{65}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}-C_{1}=-\frac{7}{130}.
Como já temos C_{1}=\frac{69}{65}=\frac{138}{130}, segue
C_{2}=\frac{138}{130}-\frac{7}{130}=\frac{131}{130}.

Passo 9

Substituímos C_{1} e C_{2} na solução geral. A solução final é
y(x)=e^{-2x}\Big(\frac{69}{65}\cos 2x+\frac{131}{130}\sin 2x\Big)-\frac{4}{65}\cos x+\frac{7}{65}\sin x.

Resposta

y(x)=e^{-2x}\Big(\frac{69}{65}\cos 2x+\frac{131}{130}\sin 2x\Big)-\frac{4}{65}\cos x+\frac{7}{65}\sin x

Exercícios relacionados