Questão 4 ( 1,0 pt) Por meio de derivação, encontre
se
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de
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Informações dadas: e devemos obter
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O enunciado sugere “por meio de derivação”, mas aqui vamos fazer uma derivação passo a passo usando identidades e propriedades básicas da transformada de Laplace.
Informações dadas:
O enunciado sugere “por meio de derivação”, mas aqui vamos fazer uma derivação passo a passo usando identidades e propriedades básicas da transformada de Laplace.
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica de ângulo duplo para transformar
em termos de cosseno, que é mais fácil de transformar. A identidade é
que rearranjada dá
Aplicando com
obtemos
Passo 3
Pela linearidade da transformada de Laplace (isto é,
), temos
Passo 4
Lembramos as transformadas básicas:
onde
é a variável complexa da transformada de Laplace (geralmente com parte real positiva para garantir convergência) e
é a frequência do cosseno. A segunda fórmula pode ser obtida avaliando a integral
(ou usando expoentes complexos); aqui usamos o resultado conhecido.
Passo 5
Aplicando as fórmulas com
em
, obtemos
Agora fazemos a álgebra para juntar as frações. Colocando em denominador comum
:
No numerador temos
, portanto
Passo 6
Conferindo com as alternativas dadas, a expressão corresponde à alternativa
Boa! Conseguimos derivar limpinho — agora respira, você mandou bem.