Questão 4 ( 1,0 pt) Por meio de derivação, encontre \mathcal{L}[f(t)] se f(t)=\sin ^{2} \omega t.
\frac{\omega^{2}}{s\left(s^{2}-4 \omega^{2}\right)} \frac{2 \omega^{2}}{s\left(s^{2}+4 \omega^{2}\right)} \frac{2 \omega^{2}}{s^{2}\left(s+4 \omega^{2}\right)}
\frac{\omega^{2}}{s^{2}\left(s-4 \omega^{2}\right)} \frac{2 s^{2}}{s\left(s^{2}+4 \omega^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de f(t)=\sin^{2}\omega t.
Informações dadas: f(t)=\sin^{2}\omega t e devemos obter \mathcal{L}[f(t)].
O enunciado sugere “por meio de derivação”, mas aqui vamos fazer uma derivação passo a passo usando identidades e propriedades básicas da transformada de Laplace.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica de ângulo duplo para transformar \sin^{2} em termos de cosseno, que é mais fácil de transformar. A identidade é
\cos(2x)=1-2\sin^{2}x,
que rearranjada dá
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Aplicando com x=\omega t obtemos
\sin^{2}\omega t=\frac{1-\cos(2\omega t)}{2}.

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace (isto é, \mathcal{L}[a g(t)+b h(t)]=a\mathcal{L}[g(t)]+b\mathcal{L}[h(t)]), temos
\mathcal{L}[\sin^{2}\omega t]=\frac{1}{2}\mathcal{L}[1]-\frac{1}{2}\mathcal{L}[\cos(2\omega t)].

Passo 4

Lembramos as transformadas básicas:
\mathcal{L}[1]=\frac{1}{s}\quad(\text{para }\Re(s)>0),
\mathcal{L}[\cos(at)]=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\quad(\text{para }\Re(s)>0),
onde s é a variável complexa da transformada de Laplace (geralmente com parte real positiva para garantir convergência) e a é a frequência do cosseno. A segunda fórmula pode ser obtida avaliando a integral \int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt (ou usando expoentes complexos); aqui usamos o resultado conhecido.

Passo 5

Aplicando as fórmulas com a=2\omega em \mathcal{L}[\cos(2\omega t)], obtemos
\mathcal{L}[\sin^{2}\omega t]=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{2}\cdot\frac{s}{s^{2}+4\omega^{2}}.
Agora fazemos a álgebra para juntar as frações. Colocando em denominador comum 2s(s^{2}+4\omega^{2}):
\mathcal{L}[\sin^{2}\omega t]=\frac{s^{2}+4\omega^{2}}{2s(s^{2}+4\omega^{2})}-\frac{s^{2}}{2s(s^{2}+4\omega^{2})}.
No numerador temos s^{2}+4\omega^{2}-s^{2}=4\omega^{2}, portanto
\mathcal{L}[\sin^{2}\omega t]=\frac{4\omega^{2}}{2s(s^{2}+4\omega^{2})}=\frac{2\omega^{2}}{s\left(s^{2}+4\omega^{2}\right)}.

Passo 6

Conferindo com as alternativas dadas, a expressão corresponde à alternativa
\frac{2\omega^{2}}{s\left(s^{2}+4\omega^{2}\right)}.
Boa! Conseguimos derivar limpinho — agora respira, você mandou bem.

Resposta

\displaystyle \frac{2\omega^{2}}{s\left(s^{2}+4\omega^{2}\right)}

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