Questão 1 ( 2,5 pts) . Sabemos uma transformação linear fica completamente determinada a partir dos valores nos elementos de uma base (teorema 5.3.1, p. 151, Boldrini).
O objetivo deste exercício é definir um operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}. Para isso, siga as seguintes etapas:
a) Considere a base \beta=\{(1,1),(-1,2)\} de \mathbb{R}^{2} e atribua valores (que não sejam os vetores da base canônica de \mathbb{R}^{2} ) para T(1,1) e T(-1,2).
b) Tome uma base \beta^{\prime}=\left\{w_{1}, w_{2}\right\} de \mathbb{R}^{2}, diferente da base canônica de \mathbb{R}^{2} e diferente da base \beta.
c) Determine a matriz de T em relação às bases \beta e \beta^{\prime}, isto é, determine [T]_{\beta^{\prime}}^{\beta}.
d) Determine [T(v)]_{\beta^{\prime}}, onde v=(a, b) com a e b sendo, respectivamente, o penúltimo e o último número do seu número de matrícula na UFES.
e) Encontre a expressão geral T(x, y) do operador linear.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado pede e as informações que temos (sem resolver ainda).
  • O enunciado pede que se construa um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por etapas:
    (a) escolher imagens para os vetores da base \beta=\{(1,1),(-1,2)\}, com a restrição de que essas imagens NÃO sejam vetores da base canônica \{(1,0),(0,1)\};
    (b) escolher uma outra base \beta'=\{w_1,w_2\} de \mathbb{R}^2, diferente da base canônica e diferente de \beta;
    (c) determinar a matriz [T]_{\beta'}^{\beta} (matriz que tem como colunas as coordenadas de T dos vetores de \beta expressas em \beta');
    (d) determinar [T(v)]_{\beta'} para v=(a,b), onde a e b são, respectivamente, o penúltimo e o último número da matrícula do aluno na UFES (esses valores numéricos não foram fornecidos aqui, então farei a expressão em termos de a e b);
    (e) encontrar a expressão geral T(x,y) para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • Informações dadas explicitamente:
    • Base \beta = \{(1,1),\,(-1,2)\}.
    • Pede-se escolha de imagens T(1,1) e T(-1,2) (com a restrição dita).
    • Deve-se escolher uma base \beta' diferente da canônica e de \beta.

Passo 2

Escolher as imagens de T para os vetores da base \beta (item (a)). Vou escolher imagens que satisfaçam a restrição (não serem (1,0) nem (0,1)) e que deixem o problema simples de calcular.
Escolho
T(1,1) = (2,1), \qquad T(-1,2) = (1,-1).
Comentários rápidos: esses dois vetores são linearmente independentes e não coincidem com os vetores da base canônica, então a escolha é válida. Se preferir outras escolhas, o método a seguir serve igual.

Passo 3

Escolher a base \beta' (item (b)). Preciso que \beta' seja uma base distinta da canônica e distinta de \beta. Escolho
w_1=(1,2),\qquad w_2=(2,1).
Verificação de que é base: w_1 e w_2 são linearmente independentes porque não são múltiplos um do outro (o determinante da matriz formada por essas colunas é 1\cdot1-2\cdot2 = -3\neq 0). Também são diferentes da base canônica e da \beta. Logo \beta'=\{w_1,w_2\} é uma base válida.

Passo 4

Explicar o que significa [T]_{\beta'}^{\beta} e como calcular: a matriz [T]_{\beta'}^{\beta} tem duas colunas (porque \beta tem dois vetores). Cada coluna é o vetor [T(u)]_{\beta'}, ou seja, as coordenadas do vetor T(u) na base \beta', para u sendo cada elemento de \beta. Então, para cada vetor escolhido em \beta (já definimos T(1,1) e T(-1,2)), precisamos escrever esse vetor como combinação linear de w_1 e w_2 e pegar os coeficientes.
Vou fazer isso passo a passo.

Passo 5

Calcular coordenadas de T(1,1)=(2,1)\) na base \(\beta'\). Queremos \(\alpha,\beta\) tais que \[\alpha w_1 + \beta w_2 = (2,1).
Ou seja,
\alpha(1,2)+\beta(2,1) = (2,1).
Isso gera o sistema linear (equacionando componentes):
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 2,\\[4pt] 2\alpha + \beta = 1. \end{cases}
Resolvo por substituição: da primeira equação \alpha = 2 - 2\beta\]. Substituindo na segunda: \[2(2-2\beta) + \beta = 1 \quad\Rightarrow\quad 4 -4\beta + \beta =1 \quad\Rightarrow\quad -3\beta = -3 \quad\Rightarrow\quad \beta = 1.\] Então \(\alpha = 2 - 2\cdot1 = 0. Logo
[T(1,1)]_{\beta'} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular coordenadas de T(-1,2)=(1,-1)\) na base \(\beta'\). Queremos \(\gamma,\delta\) tais que \[\gamma(1,2)+\delta(2,1) = (1,-1).
Isso dá o sistema
\begin{cases} \gamma + 2\delta = 1,\\[4pt] 2\gamma + \delta = -1. \end{cases}
Da primeira: \gamma = 1 - 2\delta\]. Substituindo na segunda: \[2(1-2\delta) + \delta = -1 \quad\Rightarrow\quad 2 -4\delta + \delta = -1 \quad\Rightarrow\quad -3\delta = -3 \quad\Rightarrow\quad \delta = 1.\] Então \(\gamma = 1 - 2\cdot1 = -1. Logo
[T(-1,2)]_{\beta'} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Montar a matriz [T]_{\beta'}^{\beta} (item (c)). As colunas são as coordenadas que encontramos, na ordem dos vetores da base \beta: primeiro para (1,1), depois para (-1,2). Assim
[T]_{\beta'}^{\beta} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Explicar como obter a expressão geral T(x,y) (estratégia para (e)): um operador linear é completamente determinado pelas imagens dos vetores de uma base (já demos T em \beta). Para obter T em coordenadas canônicas (isto é, a fórmula T(x,y)), uma via prática é:
  • Expressar os vetores da base canônica e_1=(1,0) e e_2=(0,1) em coordenadas em relação a \beta.
  • Aplicar T via linearidade usando as imagens dos vetores de \beta.
  • Obter T(e_1) e T(e_2) em coordenadas canônicas; então a matriz canônica A de T tem colunas T(e_1) e T(e_2), e T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Vou fazer isso passo a passo.

Passo 9

Expressar e_1=(1,0)\) em coordenadas da base \(\beta\). Queremos \(u,v\) tais que \[u(1,1) + v(-1,2) = (1,0).
Equacionando componentes:
\begin{cases} u - v = 1,\\[4pt] u + 2v = 0. \end{cases}
Da primeira u = 1 + v\]. Substituindo na segunda: \[1 + v + 2v = 0 \quad\Rightarrow\quad 1 + 3v = 0 \quad\Rightarrow\quad v = -\tfrac{1}{3}.\] Então \(u = 1 + (-\tfrac{1}{3}) = \tfrac{2}{3}. Portanto
[e_1]_{\beta} = \begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 10

Expressar e_2=(0,1)\) em coordenadas da base \(\beta\). Queremos \(p,q\) tais que \[p(1,1) + q(-1,2) = (0,1).
Equacionando:
\begin{cases} p - q = 0,\\[4pt] p + 2q = 1. \end{cases}
Da primeira p=q\]. Substituindo na segunda \(q + 2q = 1\Rightarrow 3q =1\Rightarrow q=\tfrac{1}{3}. Assim p=\tfrac{1}{3}. Logo
[e_2]_{\beta} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 11

Calcular T(e_1) e T(e_2) usando linearidade e as imagens que escolhemos para \beta.
  • Lembrando que se [v]_{\beta} = \begin{pmatrix}c_1\c_2\end{pmatrix}, então T(v) = c_1\,T(1,1) + c_2\,T(-1,2) (porque (1,1) e (-1,2) são os vetores da base \beta).
Para e_1:
T(e_1) = \tfrac{2}{3}\,T(1,1) + \big(-\tfrac{1}{3}\big)\,T(-1,2).
Substituindo T(1,1)=(2,1) e T(-1,2)=(1,-1):
T(e_1) = \tfrac{2}{3}(2,1) - \tfrac{1}{3}(1,-1).
Calculo componente a componente:
\text{componente }x: \tfrac{2}{3}\cdot 2 - \tfrac{1}{3}\cdot 1 = \tfrac{4}{3} - \tfrac{1}{3} = 1.
\text{componente }y: \tfrac{2}{3}\cdot 1 - \tfrac{1}{3}\cdot(-1) = \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{3} = 1.
Logo T(e_1) = (1,1).
Para e_2:
T(e_2) = \tfrac{1}{3}T(1,1) + \tfrac{1}{3}T(-1,2) = \tfrac{1}{3}(2,1) + \tfrac{1}{3}(1,-1).
Calculo:
\text{componente }x: \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{3} = 1.
\text{componente }y: \tfrac{1}{3} + \big(-\tfrac{1}{3}\big) = 0.
Logo T(e_2)=(1,0).

Passo 12

Montar a matriz canônica A de T (colunas são T(e_1) e T(e_2)) e escrever T(x,y) (item (e)):
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}, \qquad\text{portanto}\qquad T(x,y) = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+y\\[4pt]x\end{pmatrix}.
Interpretação: T toma (x,y) e envia em (x+y,\,x).]

Passo 13

Calcular [T(v)]_{\beta'}\) para \(v=(a,b)\) genérico (item (d)). Primeiro obtenho \(T(v)\) usando a expressão geral: \[T(v) = T(a,b) = (a+b,\,a).
Agora escrevo (a+b,a) como combinação linear de w_1=(1,2) e w_2=(2,1). Ou seja, quero \mu,\nu tais que
\mu(1,2) + \nu(2,1) = (a+b,\,a).
Isso dá o sistema
\begin{cases} \mu + 2\nu = a+b,\\[4pt] 2\mu + \nu = a. \end{cases}
Resolvo: multiplico a primeira por 2\] e subtraio a segunda: \[2\mu + 4\nu - (2\mu + \nu) = 2(a+b) - a \quad\Rightarrow\quad 3\nu = a + 2b.\] Logo \[\nu = \dfrac{a+2b}{3}.\] E a partir de \(2\mu + \nu = a:
2\mu = a - \nu = a - \dfrac{a+2b}{3} = \dfrac{3a - (a+2b)}{3} = \dfrac{2a -2b}{3},
portanto
\mu = \dfrac{a-b}{3}.
Concluindo,
[T(v)]_{\beta'} = \begin{pmatrix}\dfrac{a-b}{3}\\[6pt]\dfrac{a+2b}{3}\end{pmatrix}.
Observação prática: o enunciado pedia que a e b fossem os dígitos da matrícula; não recebi esses dígitos, por isso deixei o resultado em termos de a e b. Para obter o vetor numérico, basta substituir os dígitos reais de matrícula por a e b na expressão acima. Por exemplo, se hipoteticamente a=3 e b=7, teríamos [T(v)]_{\beta'} = \begin{pmatrix}\tfrac{3-7}{3}\\[4pt]\tfrac{3+14}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{4}{3}\\[4pt]\tfrac{17}{3}\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) T(1,1)=(2,1) e T(-1,2)=(1,-1).
(b) \beta'=\{\,w_1=(1,2),\;w_2=(2,1)\,\}.
(c) [T]_{\beta'}^{\beta}=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
(d) Para v=(a,b) (com a,b os dígitos pedidos),
[T(v)]_{\beta'}=\begin{pmatrix}\dfrac{a-b}{3}\\[6pt]\dfrac{a+2b}{3}\end{pmatrix}.
(e) A expressão geral é
T(x,y) = (x+y,\;x).]

Exercícios relacionados