Questão 1 ( 2,5 pts) . Sabemos uma transformação linear fica completamente determinada a partir dos valores nos elementos de uma base (teorema 5.3.1, p. 151, Boldrini).
O objetivo deste exercício é definir um operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}. Para isso, siga as seguintes etapas:
a) Considere a base \beta=\{(1,1),(-1,2)\} de \mathbb{R}^{2} e atribua valores (que não sejam os vetores da base canônica de \mathbb{R}^{2} ) para T(1,1) e T(-1,2).
b) Tome uma base \beta^{\prime}=\left\{w_{1}, w_{2}\right\} de \mathbb{R}^{2}, diferente da base canônica de \mathbb{R}^{2} e diferente da base \beta.
c) Determine a matriz de T em relação às bases \beta e \beta^{\prime}, isto é, determine [T]_{\beta^{\prime}}^{\beta}.
d) Determine [T(v)]_{\beta^{\prime}}, onde v=(a, b) com a e b sendo, respectivamente, o penúltimo e o último número do seu número de matrícula na UFES.
e) Encontre a expressão geral T(x, y) do operador linear.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado pede e as informações que temos (sem resolver ainda).
O enunciado pede que se construa um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por etapas:
(a) escolher imagens para os vetores da base \beta=\{(1,1),(-1,2)\}, com a restrição de que essas imagens NÃO sejam vetores da base canônica \{(1,0),(0,1)\};
(b) escolher uma outra base \beta'=\{w_1,w_2\} de \mathbb{R}^2, diferente da base canônica e diferente de \beta;
(c) determinar a matriz [T]_{\beta'}^{\beta} (matriz que tem como colunas as coordenadas de T dos vetores de \beta expressas em \beta');
(d) determinar [T(v)]_{\beta'} para v=(a,b), onde a e b são, respectivamente, o penúltimo e o último número da matrícula do aluno na UFES (esses valores numéricos não foram fornecidos aqui, então farei a expressão em termos de a e b);
(e) encontrar a expressão geral T(x,y) para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.
Informações dadas explicitamente:
Base \beta = \{(1,1),\,(-1,2)\}.
Pede-se escolha de imagens T(1,1) e T(-1,2) (com a restrição dita).
Deve-se escolher uma base \beta' diferente da canônica e de \beta.
Passo 2
Escolher as imagens de T para os vetores da base \beta (item (a)). Vou escolher imagens que satisfaçam a restrição (não serem (1,0) nem (0,1)) e que deixem o problema simples de calcular.
Escolho
T(1,1) = (2,1), \qquad T(-1,2) = (1,-1).
Comentários rápidos: esses dois vetores são linearmente independentes e não coincidem com os vetores da base canônica, então a escolha é válida. Se preferir outras escolhas, o método a seguir serve igual.
Passo 3
Escolher a base \beta' (item (b)). Preciso que \beta' seja uma base distinta da canônica e distinta de \beta. Escolho
w_1=(1,2),\qquad w_2=(2,1).
Verificação de que é base: w_1 e w_2 são linearmente independentes porque não são múltiplos um do outro (o determinante da matriz formada por essas colunas é 1\cdot1-2\cdot2 = -3\neq 0). Também são diferentes da base canônica e da \beta. Logo \beta'=\{w_1,w_2\} é uma base válida.
Passo 4
Explicar o que significa [T]_{\beta'}^{\beta} e como calcular: a matriz [T]_{\beta'}^{\beta} tem duas colunas (porque \beta tem dois vetores). Cada coluna é o vetor [T(u)]_{\beta'}, ou seja, as coordenadas do vetor T(u) na base \beta', para u sendo cada elemento de \beta. Então, para cada vetor escolhido em \beta (já definimos T(1,1) e T(-1,2)), precisamos escrever esse vetor como combinação linear de w_1 e w_2 e pegar os coeficientes.
Vou fazer isso passo a passo.
Passo 5
Calcular coordenadas de T(1,1)=(2,1)\) na base \(\beta'\). Queremos \(\alpha,\beta\) tais que
\[\alpha w_1 + \beta w_2 = (2,1).
Ou seja,
\alpha(1,2)+\beta(2,1) = (2,1).
Isso gera o sistema linear (equacionando componentes):
Montar a matriz [T]_{\beta'}^{\beta} (item (c)). As colunas são as coordenadas que encontramos, na ordem dos vetores da base \beta: primeiro para (1,1), depois para (-1,2). Assim
Explicar como obter a expressão geral T(x,y) (estratégia para (e)): um operador linear é completamente determinado pelas imagens dos vetores de uma base (já demos T em \beta). Para obter T em coordenadas canônicas (isto é, a fórmula T(x,y)), uma via prática é:
Expressar os vetores da base canônica e_1=(1,0) e e_2=(0,1) em coordenadas em relação a \beta.
Aplicar T via linearidade usando as imagens dos vetores de \beta.
Obter T(e_1) e T(e_2) em coordenadas canônicas; então a matriz canônica A de T tem colunas T(e_1) e T(e_2), e T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Vou fazer isso passo a passo.
Passo 9
Expressar e_1=(1,0)\) em coordenadas da base \(\beta\). Queremos \(u,v\) tais que
\[u(1,1) + v(-1,2) = (1,0).
Equacionando componentes:
\begin{cases} u - v = 1,\\[4pt] u + 2v = 0. \end{cases}
Da primeira u = 1 + v\]. Substituindo na segunda:
\[1 + v + 2v = 0 \quad\Rightarrow\quad 1 + 3v = 0 \quad\Rightarrow\quad v = -\tfrac{1}{3}.\]
Então \(u = 1 + (-\tfrac{1}{3}) = \tfrac{2}{3}. Portanto
Calcular T(e_1) e T(e_2) usando linearidade e as imagens que escolhemos para \beta.
Lembrando que se [v]_{\beta} = \begin{pmatrix}c_1\c_2\end{pmatrix}, então T(v) = c_1\,T(1,1) + c_2\,T(-1,2) (porque (1,1) e (-1,2) são os vetores da base \beta).
Resolvo: multiplico a primeira por 2\] e subtraio a segunda:
\[2\mu + 4\nu - (2\mu + \nu) = 2(a+b) - a \quad\Rightarrow\quad 3\nu = a + 2b.\]
Logo
\[\nu = \dfrac{a+2b}{3}.\]
E a partir de \(2\mu + \nu = a:
2\mu = a - \nu = a - \dfrac{a+2b}{3} = \dfrac{3a - (a+2b)}{3} = \dfrac{2a -2b}{3},
Observação prática: o enunciado pedia que a e b fossem os dígitos da matrícula; não recebi esses dígitos, por isso deixei o resultado em termos de a e b. Para obter o vetor numérico, basta substituir os dígitos reais de matrícula por a e b na expressão acima. Por exemplo, se hipoteticamente a=3 e b=7, teríamos [T(v)]_{\beta'} = \begin{pmatrix}\tfrac{3-7}{3}\\[4pt]\tfrac{3+14}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{4}{3}\\[4pt]\tfrac{17}{3}\end{pmatrix}.]