1^{\underline{\boldsymbol{a}}} Questão: ( 1,0 ponto) Encontre a solução geral da equação diferencial
\begin{gathered} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=12 x^{3} \\\ \text { R: } y(x)=a_{0}+a_{1}\left(x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{40}+\frac{x^{7}}{336}+\ldots\right)+\left(\frac{3 x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{14}+\ldots\right) \end{gathered}

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos pede e o que ele já dá.
  • Enunciado: encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' - x y' = 12 x^3.
  • O enunciado já indica a forma da resposta esperada:
y(x)=a_{0}+a_{1}\!\left(x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{40}+\frac{x^{7}}{336}+\ldots\right)+\left(\frac{3 x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{14}+\ldots\right).
O que é pedido: obter a solução geral y(x) — ou seja, a família de soluções com duas constantes arbitrárias — e escrever ela na forma em séries mostrada acima.

Passo 2

Estratégia de resolução (explicada de forma simples e didática).
  • Vou resolver por séries de potências centradas em x=0, isto é, supondo
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
e obtendo uma relação de recorrência para os coeficientes a_n. Esse método é natural porque a resposta indicada está em série de potências; além disso, para equações com coeficientes que são polinômios em x (aqui o coeficiente de y' é -x), o método de série dá recursões simples que determinam todos os coeficientes a partir de alguns livres (neste caso dois, como deve ser para uma EDO de segunda ordem).
Vou mostrar passo a passo como obter a recorrência e calcular os primeiros coeficientes para comparar com a forma pedida.

Passo 3

Escrevendo y, y' e y'' como séries e ajustando índices.
Partimos de
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
Diferenciando termo a termo temos
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{m=0}^{\infty} (m+1)a_{m+1} x^{m},
onde no último passo troquei o índice m=n-1 para escrever a soma em potências x^m.
Ainda diferenciando:
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} = \sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1)a_{m+2} x^{m},
onde usei m=n-2 para ter também potências x^m.
Agora formamos a combinação da EDO:
y'' - x y' = \sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1)a_{m+2} x^{m} \;-\; x\sum_{m=0}^{\infty} (m+1)a_{m+1} x^{m}.
Multiplicando o segundo somatório por x
x y' = \sum_{m=0}^{\infty} (m+1)a_{m+1} x^{m+1} = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n,
onde renomeei o índice por n. Assim, o coeficiente de x^m em x y' é m a_m para m\ge1, e é 0 para m=0.

Passo 4

Obtenção da relação de recorrência.
Comparando coeficientes de x^m\) em ambos os lados da equação \(y''-x y'=12 x^3\), obtemos para cada \(m\ge0\) \[(m+2)(m+1)a_{m+2} - \begin{cases} 0, & m=0,\\[4pt] m a_m, & m\ge1, \end{cases} = \begin{cases} 12, & m=3,\\[4pt] 0, & m\ne 3. \end{cases}
Isto pode ser escrito de forma única (válida para m\ge0\]) como \[(m+2)(m+1)\,a_{m+2} - m a_m = b_m,\] onde \[b_m=\begin{cases}12,&m=3,\\\ 0,&m\ne3.\end{cases}\] Isolando \(a_{m+2},
a_{m+2}=\frac{m a_m + b_m}{(m+2)(m+1)}.
Essa é a recorrência que permite calcular todos os a_n a partir de a_0 e a_1 (os dois parâmetros livres, como deve ser).]

Passo 5

Começando a calcular coeficientes concretos (mostrando cada conta).
  • Para m=0:
(0+2)(0+1)a_2 - 0\cdot a_0 = b_0=0 \quad\Rightarrow\quad 2 a_2 =0 \quad\Rightarrow\quad a_2=0.
  • Para m=1:
a_3=\frac{1\cdot a_1 + b_1}{3\cdot2}=\frac{a_1}{6}.
(Observação: b_1=0.)

Passo 6

Seguindo com m=2,3 para ver onde aparece o termo forçado 12 x^3.
  • Para m=2:
a_4=\frac{2 a_2 + b_2}{4\cdot3}=\frac{2\cdot 0 + 0}{12}=0.
  • Para m=3 (é aqui que b_3=12 entra):
a_5=\frac{3 a_3 + b_3}{5\cdot4}=\frac{3\cdot\frac{a_1}{6} + 12}{20} = \frac{\frac{a_1}{2}+12}{20} = \frac{a_1}{40} + \frac{12}{20} = \frac{a_1}{40} + \frac{3}{5}.

Passo 7

Continuando mais alguns termos para confirmar o padrão.
  • Para m=4:
a_6=\frac{4 a_4 + b_4}{6\cdot5}=\frac{0+0}{30}=0.
  • Para m=5:
a_7=\frac{5 a_5 + b_5}{7\cdot6} = \frac{5\left(\frac{a_1}{40}+\frac{3}{5}\right)}{42} = \frac{\frac{a_1}{8}+3}{42} = \frac{a_1}{336} + \frac{3}{42} = \frac{a_1}{336} + \frac{1}{14}.
Esses cálculos mostram que os coeficientes pares (além de a_0) são zero: a_2=a_4=a_6=\cdots=0. Os coeficientes ímpares a partir de a_1 são determinados por a_1 mais contribuições vindas do termo forçado quando m=3 (que gerou as parcelas constantes 3/5,\;1/14,\dots).

Passo 8

Escrevendo a série solução agrupando as partes “livres” (constantes de integração) e a parte particular.
Com os coeficientes calculados temos
y(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + a_6 x^6 + a_7 x^7 + \cdots
Substituindo os valores que encontramos:
a_2=0,\quad a_3=\frac{a_1}{6},\quad a_4=0,\quad a_5=\frac{a_1}{40}+\frac{3}{5},\quad a_6=0,\quad a_7=\frac{a_1}{336}+\frac{1}{14},\ldots
logo é natural agrupar os termos que contêm a_1 e os que são independentes de a_1. Fazendo isso obtemos
y(x)=a_{0}+a_{1}\!\left(x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{40}+\frac{x^{7}}{336}+\ldots\right) +\left(\frac{3 x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{14}+\ldots\right).
  • A primeira linha a_0 é a constante de integração associada à solução de segunda ordem.
  • O termo multiplicando a_1 é a série que aparece quando a solução homogênea é escrita como série; de forma geral essa série é a expansão de \displaystyle\int_0^x e^{t^2/2}\,dt (mas aqui trabalhamos só com séries, como o enunciado mostrou).
  • O último grupo entre parênteses é uma solução particular (fixa) da EDO — repara que começa em x^5, já que os termos mais baixos de ordem ímpar podem ser absorvidos na parte homogênea.

Passo 9

Comentários finais, incentivo e checagem.
  • Encontramos a solução geral com duas constantes arbitrárias a_0 e a_1, exatamente como deve ser para uma EDO linear de segunda ordem.
  • A forma coincide com a resposta fornecida no enunciado; os primeiros coeficientes da série particular são \dfrac{3}{5}x^{5} e \dfrac{1}{14}x^{7}, como solicitado.
  • Você fez bem em pedir a resolução em série: ela mostra explicitamente como os coeficientes surgem e é prática na prova — é só aplicar a recorrência e calcular os poucos primeiros termos pedidos.

Resposta

y(x)=a_{0}+a_{1}\!\left(x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{40}+\frac{x^{7}}{336}+\ldots\right)+\left(\frac{3 x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{14}+\ldots\right)

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