Questão 2 ( 1,5 pts) . Calcule \operatorname{dim} \operatorname{ker}(T) e \operatorname{dim} \operatorname{Im}(T). O operador linear T é injetor? É sobrejetor? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede claramente três coisas:
  • Calcular \dim\ker(T).
  • Calcular \dim\operatorname{Im}(T).
  • Dizer se o operador linear T é injetor e se é sobrejetor, justificando.
Informações dadas no enunciado que eu posso usar: só foi informado o nome do operador T e as perguntas acima. Informação que falta (essencial para resolver numericamente): não foi fornecida a definição de T (por exemplo, a fórmula de T, ou a matriz de T em bases especificadas), nem foi explicitado o espaço de domínio e o espaço alvo (contradomínio) de T. Sem esses dados não há como calcular os números pedidos.

Passo 2

Por que não dá para calcular os valores sem mais dados?
  • Para encontrar \dim\ker(T) e \dim\operatorname{Im}(T) é necessário conhecer como T age em vetores concretos: com a matriz de T ou uma regra que permita resolver T(v)=0 e descrever a imagem T(V).
  • Também é preciso saber o espaço de partida (por exemplo \mathbb{R}^n ou outro espaço de dimensão conhecida) e o espaço de chegada (por exemplo \mathbb{R}^m), porque a dimensão da imagem é comparada com a dimensão do contradomínio para decidir sobrejetividade.
Portanto: com o enunciado atual não é possível fornecer os valores numéricos pedidos. Vou, porém, ensinar passo a passo como se resolve esse tipo de questão na prova (a parte didática que você pediu), de modo que quando você tiver a matriz ou a regra de T você consiga aplicar imediatamente.

Passo 3

Conceitos essenciais (explicados devagar e com cuidado)
  • O núcleo (kernel) de T é o conjunto \ker(T)=\{v\mid T(v)=0\}. Ele é um subespaço do espaço de domínio.
  • A imagem de T é \operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\text{domínio}\}í. É um subespaço do contradomínio.
  • A dimensão do núcleo é chamada nulidade ( \operatorname{nullity}(T)=\dim\ker(T)). A dimensão da imagem é o posto ou posto (rank) ( \operatorname{rank}(T)=\dim\operatorname{Im}(T)).
  • Teorema fundamental (teorema do posto-nulidade) para espaços vetoriais finito-dimensionais: se \,T: V\to W e \dim V = n, então
\dim\ker(T)+\dim\operatorname{Im}(T)=\dim V.
Isso é superútil: uma vez que se conhece uma das duas dimensões e \dim V, se obtém a outra.

Passo 4

Critérios de injetividade e sobrejetividade em termos de dimensões e núcleo/imagem
  • T é injetora se, e somente se, \ker(T)=\{0\}. Em termos de dimensão: T é injetora \iff\dim\ker(T)=0.
  • T é sobrejetora se, e somente se, \operatorname{Im}(T)=W (todo o contradomínio). Em termos de dimensão: se \dim W = m, então T é sobrejetora \iff\dim\operatorname{Im}(T)=m.
  • Observação útil: se \dim V > \dim W então T:V\to W não pode ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo; geralmente faz sentido checar dimensões primeiro para ter intuição.

Passo 5

Como proceder na prática quando T é dada por uma matriz (caso mais comum em provas)
  • Suponha que T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m e que a matriz de T na base canônica é A de tamanho m\times n.
  • Para encontrar \ker(T): resolva o sistema homogêneo A x = 0. Faça eliminação de Gauss (redução para escalonada ou RREF). Os vetores livres parametricamente definem uma base do núcleo. O número de variáveis livres é \dim\ker(T).
  • Para encontrar \operatorname{Im}(T): calcule o posto de A, por exemplo reduzindo a matriz e contando o número de pivôs não nulos. As colunas originais de A correspondentes aos pivôs formam uma base da imagem. O número de pivôs é \dim\operatorname{Im}(T).
  • Use o teorema posto-nulidade como checagem: \dim\ker(T)+\dim\operatorname{Im}(T)=n.
  • Para decidir injetividade: verifique se \dim\ker(T)=0.
  • Para decidir sobrejetividade: verifique se \dim\operatorname{Im}(T)=\dim W (no caso usual \dim W = m).

Passo 6

Exemplo detalhado (faça parecido na prova; aqui eu explico passo a passo): seja T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 4\end{pmatrix}.
Vou achar \dim\ker(T), \dim\operatorname{Im}(T), ver injetividade e sobrejetividade.
  1. Redução por linhas para achar posto (ou apenas observar pivôs). A matriz já está em forma escalonada por linhas: há pivô na coluna 1 (linha 1) e pivô na coluna 2 (linha 2). Logo há 2 pivôs.
  2. Logo \operatorname{rank}(A)=2. Assim
\dim\operatorname{Im}(T)=2.
  1. Como o domínio tem dimensão n=3, pelo posto-nulidade
\dim\ker(T)=n-\dim\operatorname{Im}(T)=3-2=1.
Isso significa que o núcleo tem dimensão 1 (uma reta de soluções para Ax=0).
  1. Injetividade: \dim\ker(T)=1\neq0, portanto T não é injetora.
  2. Sobrejetividade: o contradomínio é \mathbb{R}^2 com \dim W=2. Como \dim\operatorname{Im}(T)=2=\dim W, a imagem é todo \mathbb{R}^2 e T é sobrejetora.
Resumo do exemplo:
\dim\ker(T)=1,\qquad \dim\operatorname{Im}(T)=2,\qquad T\\ \text{não é injetora, mas é sobrejetora}.ãéé
Esse exemplo mostra o procedimento: reduzir, contar pivôs, aplicar posto-nulidade, comparar com \dim W.]

Passo 7

Checklist rápido para a prova (passo a passo que você pode seguir em 5–10 minutos)
  1. Identifique o domínio V e o contradomínio W de T e suas dimensões n e m.
  2. Se T vier dada por matriz A, aplique eliminação de Gauss para obter a forma escalonada (ou RREF).
  3. Conte os pivôs: esse número é \dim\operatorname{Im}(T).
  4. Use \dim\ker(T)=n-\dim\operatorname{Im}(T).
  5. Conclua injetividade (nulidade zero?) e sobrejetividade (posto igual a \dim W?).
  6. Escreva a justificativa em frases curtas: (a) cálculo do posto; (b) posto-nulidade; (c) comparação com dimensão do contradomínio.

Passo 8

Conclusão específica para o enunciado que você me enviou:
  • Não posso calcular \dim\ker(T) nem \dim\operatorname{Im}(T) nem afirmar se T é injetor/sobrejetor porque o enunciado não fornece a definição de T (nem a matriz de T, nem a fórmula, nem os espaços domínio/contradomínio).
  • Se você me enviar a matriz de T (ou a regra explícita e os espaços envolvidos), eu aplico imediatamente este procedimento passo a passo e te devolvo a resolução detalhada como nesta explicação, mostrando todas as contas e justificativas.

Resposta

Não é possível calcular \dim\ker(T) nem \dim\operatorname{Im}(T), nem decidir sobre injetividade/ sobrejetividade, porque o enunciado não fornece a definição de T (por exemplo a matriz de T ou a regra explícita) nem o domínio e o contradomínio.

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