Questão 2 ( 1,5 pts) . Calcule
e
. O operador linear
é injetor? É sobrejetor? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede claramente três coisas:
- Calcular
. - Calcular
. - Dizer se o operador linear
é injetor e se é sobrejetor, justificando.
Informações dadas no enunciado que eu posso usar: só foi informado o nome do operador
e as perguntas acima. Informação que falta (essencial para resolver numericamente): não foi fornecida a definição de
(por exemplo, a fórmula de
, ou a matriz de
em bases especificadas), nem foi explicitado o espaço de domínio e o espaço alvo (contradomínio) de
. Sem esses dados não há como calcular os números pedidos.
Passo 2
Por que não dá para calcular os valores sem mais dados?
- Para encontrar
e é necessário conhecer como age em vetores concretos: com a matriz de ou uma regra que permita resolver e descrever a imagem . - Também é preciso saber o espaço de partida (por exemplo
ou outro espaço de dimensão conhecida) e o espaço de chegada (por exemplo ), porque a dimensão da imagem é comparada com a dimensão do contradomínio para decidir sobrejetividade.
Portanto: com o enunciado atual não é possível fornecer os valores numéricos pedidos. Vou, porém, ensinar passo a passo como se resolve esse tipo de questão na prova (a parte didática que você pediu), de modo que quando você tiver a matriz ou a regra de
você consiga aplicar imediatamente.
Passo 3
Conceitos essenciais (explicados devagar e com cuidado)
- O núcleo (kernel) de
é o conjunto . Ele é um subespaço do espaço de domínio. - A imagem de
é . É um subespaço do contradomínio. - A dimensão do núcleo é chamada nulidade (
). A dimensão da imagem é o posto ou posto (rank) ( ). - Teorema fundamental (teorema do posto-nulidade) para espaços vetoriais finito-dimensionais: se
e , então
Isso é superútil: uma vez que se conhece uma das duas dimensões e
, se obtém a outra.
Passo 4
Critérios de injetividade e sobrejetividade em termos de dimensões e núcleo/imagem
-
é injetora se, e somente se, . Em termos de dimensão: é injetora . -
é sobrejetora se, e somente se, (todo o contradomínio). Em termos de dimensão: se , então é sobrejetora . - Observação útil: se
então não pode ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo; geralmente faz sentido checar dimensões primeiro para ter intuição.
Passo 5
Como proceder na prática quando
é dada por uma matriz (caso mais comum em provas)
- Suponha que
e que a matriz de na base canônica é de tamanho . - Para encontrar
: resolva o sistema homogêneo . Faça eliminação de Gauss (redução para escalonada ou RREF). Os vetores livres parametricamente definem uma base do núcleo. O número de variáveis livres é . - Para encontrar
: calcule o posto de , por exemplo reduzindo a matriz e contando o número de pivôs não nulos. As colunas originais de correspondentes aos pivôs formam uma base da imagem. O número de pivôs é . - Use o teorema posto-nulidade como checagem:
. - Para decidir injetividade: verifique se
. - Para decidir sobrejetividade: verifique se
(no caso usual ).
Passo 6
Exemplo detalhado (faça parecido na prova; aqui eu explico passo a passo): seja
com matriz
Vou achar
,
, ver injetividade e sobrejetividade.
-
Redução por linhas para achar posto (ou apenas observar pivôs). A matriz já está em forma escalonada por linhas: há pivô na coluna 1 (linha 1) e pivô na coluna 2 (linha 2). Logo há 2 pivôs.
-
Logo
. Assim
- Como o domínio tem dimensão
, pelo posto-nulidade
Isso significa que o núcleo tem dimensão
(uma reta de soluções para
).
-
Injetividade:
, portanto não é injetora. -
Sobrejetividade: o contradomínio é
com . Como , a imagem é todo e é sobrejetora.
Resumo do exemplo:
Esse exemplo mostra o procedimento: reduzir, contar pivôs, aplicar posto-nulidade, comparar com
.]
Passo 7
Checklist rápido para a prova (passo a passo que você pode seguir em 5–10 minutos)
- Identifique o domínio
e o contradomínio de e suas dimensões e . - Se
vier dada por matriz , aplique eliminação de Gauss para obter a forma escalonada (ou RREF). - Conte os pivôs: esse número é
. - Use
. - Conclua injetividade (nulidade zero?) e sobrejetividade (posto igual a
?). - Escreva a justificativa em frases curtas: (a) cálculo do posto; (b) posto-nulidade; (c) comparação com dimensão do contradomínio.
Passo 8
Conclusão específica para o enunciado que você me enviou:
- Não posso calcular
nem nem afirmar se é injetor/sobrejetor porque o enunciado não fornece a definição de (nem a matriz de , nem a fórmula, nem os espaços domínio/contradomínio). - Se você me enviar a matriz de
(ou a regra explícita e os espaços envolvidos), eu aplico imediatamente este procedimento passo a passo e te devolvo a resolução detalhada como nesta explicação, mostrando todas as contas e justificativas.
Resposta
Não é possível calcular
nem
, nem decidir sobre injetividade/ sobrejetividade, porque o enunciado não fornece a definição de
(por exemplo a matriz de
ou a regra explícita) nem o domínio e o contradomínio.