Questão (2(3 Pts)) Verifique se o vetor u pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto A em cada caso. Se sim, determine a combinação. \mathbf{u}=(2,-1,4) e A=\{(1,0,2),(0,1,1),(2,-2,1)\}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o vetor \mathbf{u} pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto A e, em caso afirmativo, determinar essa combinação.
Dados fornecidos:
\mathbf{u} = (2,-1,4).
A=\{(1,0,2),(0,1,1),(2,-2,1)\}.
Pergunta clara: existe uma tripla de escalares (a,b,c) tais que
a(1,0,2)+b(0,1,1)+c(2,-2,1)=\mathbf{u}\\ ?
Passo 2
O que significa escrever \mathbf{u} como combinação linear dos vetores de A: procurar escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que a igualdade vetorial abaixo seja verdadeira:
a(1,0,2)+b(0,1,1)+c(2,-2,1)=(2,-1,4).
Igualdade de vetores equivale à igualdade componente a componente. Vamos escrever as equações que surgem dessa condição.
Passo 3
Igualando componente a componente obtemos o sistema linear em a,b,c:
\begin{cases} a + 0\cdot b + 2c = 2,\\[4pt] 0\cdot a + b -2c = -1,\\[4pt] 2a + b + c = 4. \end{cases}
Simplificando:
\begin{cases} a + 2c = 2,\\[4pt] b - 2c = -1,\\[4pt] 2a + b + c = 4. \end{cases}]
Passo 4
Resolver o sistema por substituição (método direto, rápido em provas):
Da primeira equação: