Questão (2(3 Pts)) Verifique se o vetor u pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto A em cada caso. Se sim, determine a combinação.
\mathbf{u}=(2,-1,4) e A=\{(1,0,2),(0,1,1),(2,-2,1)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \mathbf{u} pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto A e, em caso afirmativo, determinar essa combinação.
Dados fornecidos:
  • \mathbf{u} = (2,-1,4).
  • A=\{(1,0,2),(0,1,1),(2,-2,1)\}.
Pergunta clara: existe uma tripla de escalares (a,b,c) tais que
a(1,0,2)+b(0,1,1)+c(2,-2,1)=\mathbf{u}\\ ?

Passo 2

O que significa escrever \mathbf{u} como combinação linear dos vetores de A: procurar escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que a igualdade vetorial abaixo seja verdadeira:
a(1,0,2)+b(0,1,1)+c(2,-2,1)=(2,-1,4).
Igualdade de vetores equivale à igualdade componente a componente. Vamos escrever as equações que surgem dessa condição.

Passo 3

Igualando componente a componente obtemos o sistema linear em a,b,c:
\begin{cases} a + 0\cdot b + 2c = 2,\\[4pt] 0\cdot a + b -2c = -1,\\[4pt] 2a + b + c = 4. \end{cases}
Simplificando:
\begin{cases} a + 2c = 2,\\[4pt] b - 2c = -1,\\[4pt] 2a + b + c = 4. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema por substituição (método direto, rápido em provas):
Da primeira equação:
a = 2 - 2c.
Da segunda equação:
b = -1 + 2c.
Substituir essas expressões na terceira equação:
2(2-2c) + (-1+2c) + c = 4.
Agora simplificar passo a passo:
4 -4c -1 +2c + c = 4.
Somando termos constantes e os termos com c:
3 + (-4c+2c+c) = 4 \quad\Rightarrow\quad 3 - c = 4.
Isolando c:
-c = 1 \quad\Rightarrow\quad c = -1.

Passo 5

Com c=-1, voltamos para achar a e b:
a = 2 - 2c = 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4,
b = -1 + 2c = -1 + 2(-1) = -1 - 2 = -3.
Portanto a solução é (a,b,c)=(4,-3,-1).

Passo 6

Verificação final (somar os vetores com esses coeficientes para confirmar):
4(1,0,2) + (-3)(0,1,1) + (-1)(2,-2,1)
= (4,0,8) + (0,-3,-3) + (-2,2,-1)
= (4+0-2,\;0-3+2,\;8-3-1) = (2,-1,4),
que é exatamente \mathbf{u}. Logo a combinação está correta.

Resposta

\mathbf{u}=4(1,0,2)-3(0,1,1)-1(2,-2,1)

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