Questão
Dados os vetores
e
, ache:
(a)
;
(b)
e
;
(c)
, onde
é o ângulo entre
e
;
(d)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede quatro coisas:
- (a) o produto interno
; - (b) as normas
e ; - (c) o valor de
, onde é o ângulo entre e ; - (d) a projeção de
sobre , isto é .
Anotei todas as informações do enunciado; agora vamos calcular passo a passo, sem pressa — dá pra entender tudo.
Passo 2
Definição e cálculo do produto interno (ou produto escalar) em
.
- Regra: para
e temos
onde
são as componentes dos vetores.
- Aplicando em
e :
Portanto o produto interno é
.
Passo 3
Definição e cálculo das normas (comprimento) dos vetores.
- Regra: a norma de
é
ou seja, a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes (Teorema de Pitágoras no plano).
- Para
:
- Para
:
Então
e
.
Passo 4
Cálculo de
usando a relação entre produto interno e ângulo.
- Teorema: para dois vetores não nulos
e ,
onde
é o ângulo entre eles. Assim
- Substituindo os valores que já achamos (
, , ):
(Se quiser ver de outra forma: racionalizando,
.)
Passo 5
Cálculo da projeção de
sobre
.
- Definição: a projeção de
sobre é o vetor
Aqui
é simplesmente
.
- Calculando
:
- O fator escalar é
- Multiplicando pelo vetor
:
Passo 6
Verificação útil (opcional, mas pedagógica): a diferença
deve ser ortogonal a
.
- Calcule
:
- Produto interno com
:
logo é ortogonal, o que confirma que a projeção foi calculada corretamente. Vai dar certo na prova!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)