Questão 3(2 \mathrm{Pts}) Dados os vetores \mathbf{u}=(-1,2) e \mathbf{v}=(1,1), ache:
(a) \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle;
(b) \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\|;
(c) \cos \theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v};
(d) \operatorname{Proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathbf{u}=(-1,2) e \mathbf{v}=(1,1) e pede quatro coisas:
  • (a) o produto interno \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle;
  • (b) as normas \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\|;
  • (c) o valor de \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v};
  • (d) a projeção de \mathbf{u} sobre \mathbf{v}, isto é \operatorname{Proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}.
Anotei todas as informações do enunciado; agora vamos calcular passo a passo, sem pressa — dá pra entender tudo.

Passo 2

Definição e cálculo do produto interno (ou produto escalar) em \mathbb{R}^2.
  • Regra: para \mathbf{a}=(a_1,a_2) e \mathbf{b}=(b_1,b_2) temos
\langle \mathbf{a},\mathbf{b}\rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2,
onde a_1,a_2,b_1,b_2 são as componentes dos vetores.
  • Aplicando em \mathbf{u}=(-1,2) e \mathbf{v}=(1,1):
\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = (-1)\cdot 1 + 2\cdot 1 = -1 + 2 = 1.
Portanto o produto interno é 1.

Passo 3

Definição e cálculo das normas (comprimento) dos vetores.
  • Regra: a norma de \mathbf{a}=(a_1,a_2) é
\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2},
ou seja, a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes (Teorema de Pitágoras no plano).
  • Para \mathbf{u}=(-1,2):
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.
  • Para \mathbf{v}=(1,1):
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}.
Então \|\mathbf{u}\|=\sqrt{5} e \|\mathbf{v}\|=\sqrt{2}.

Passo 4

Cálculo de \cos\theta usando a relação entre produto interno e ângulo.
  • Teorema: para dois vetores não nulos \mathbf{a} e \mathbf{b},
\langle \mathbf{a},\mathbf{b}\rangle = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\| \cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles. Assim
\cos\theta = \dfrac{\langle \mathbf{a},\mathbf{b}\rangle}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}.
  • Substituindo os valores que já achamos ( \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=1, \|\mathbf{u}\|=\sqrt{5}, \|\mathbf{v}\|=\sqrt{2}):
\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}\,\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}}.
(Se quiser ver de outra forma: racionalizando, \dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}.)

Passo 5

Cálculo da projeção de \mathbf{u} sobre \mathbf{v}.
  • Definição: a projeção de \mathbf{u} sobre \mathbf{v} é o vetor
\operatorname{Proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \left(\dfrac{\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\right)\mathbf{v}.
Aqui \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle é simplesmente \|\mathbf{v}\|^2.
  • Calculando \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle:
\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle = 1^2 + 1^2 = 2.
  • O fator escalar é
\dfrac{\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle} = \dfrac{1}{2}.
  • Multiplicando pelo vetor \mathbf{v}=(1,1):
\operatorname{Proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \dfrac{1}{2}(1,1) = \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right).

Passo 6

Verificação útil (opcional, mas pedagógica): a diferença \mathbf{u}-\operatorname{Proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} deve ser ortogonal a \mathbf{v}.
  • Calcule \mathbf{u}-\operatorname{Proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}:
\mathbf{u}-\operatorname{Proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \left(-1-\tfrac{1}{2},\,2-\tfrac{1}{2}\right) = \left(-\tfrac{3}{2},\,\tfrac{3}{2}\right).
  • Produto interno com \mathbf{v}:
\left\langle \left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right), (1,1)\right\rangle = -\tfrac{3}{2}\cdot 1 + \tfrac{3}{2}\cdot 1 = 0,
logo é ortogonal, o que confirma que a projeção foi calculada corretamente. Vai dar certo na prova!

Resposta

(a) \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = 1
(b) \|\mathbf{u}\| = \sqrt{5},\\ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{2}
(c) \cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{10}}
(d) \operatorname{Proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)

Exercícios relacionados