Questão.
Seja a seguinte função
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico.
(b) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado define
e pede:
(a) intervalos de crescente/decrescente;
(b) máximos e mínimos locais;
(c) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(d) esboço do gráfico.
Para (a)-(b) vamos calcular e analisar seus zeros e seu sinal. Para (c) vamos calcular
e estudar seu sinal.
(a) intervalos de crescente/decrescente;
(b) máximos e mínimos locais;
(c) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(d) esboço do gráfico.
Para (a)-(b) vamos calcular
Passo 2
Derivando em forma simplificada, escrevemos
logo
O numerador zera em
. O denominador
é sempre positivo para
, e em
não existe. Assim
- Para
, tem-se , . - Para
, tem-se , .
Concluímos que
Em
há mudança de decrescente para crescente, logo mínimo local.
Passo 3
Derivando
por produto, obtemos
Para estudar concavidade, olhamos o sinal de
:
- Se
, então e , logo . Portanto em é côncavo para cima. - Se
, então mas , logo . Portanto em é côncavo para baixo. - Se
, então e , logo . Portanto em é côncavo para cima.
Há mudança de concavidade eme em , que são pontos de inflexão (aqui é contínua, muda o sinal de e em a tangente é vertical).
Passo 4
Resumo do comportamento para esboço:
- Limites nas pontas:
,
. - Decrescente de
até , depois crescente. - Mínimo local em
com . - Concavidade: para cima em
e , para baixo em . - Pontos de inflexão em
com
e em
com
(tangente vertical).
Com estas informações desenha-se um ramo que vem de em concavidade para cima, inflete em
, passa para concavidade para baixo, vai até
com vertical, continua decrescendo côncavo para cima após
, atinge o mínimo
e depois sobe indefinidamente côncavo para cima.
Com estas informações desenha-se um ramo que vem de
Resposta
(a)
é decrescente em
e crescente em
.
(b) Não há máximo local; mínimo local em com
.
(c) Concavidade para cima em e
; concavidade para baixo em
. Pontos de inflexão em
e
.
(d) Esboço conforme descrição no passo anterior.
(b) Não há máximo local; mínimo local em
(c) Concavidade para cima em
(d) Esboço conforme descrição no passo anterior.