Questão. (3,5 pts) Seja a seguinte função
f(x)=x^15(x-6)2=12 cdot x^15(x-6)
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=12,x^15(x-6)
e pede:
(a) intervalos de crescente/decrescente;
(b) máximos e mínimos locais;
(c) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(d) esboço do gráfico.
Para (a)-(b) vamos calcular f'(x) e analisar seus zeros e seu sinal. Para (c) vamos calcular f''(x) e estudar seu sinal.

Passo 2

Derivando em forma simplificada, escrevemos
f(x)=12l(x^65-6x^15r),
logo
f'(x) =12l(65,x^15-6cdot15,x^-45r) =35l(x^15-x^-45r) =35,x-1x^45
O numerador zera em x=1. O denominador x^45 é sempre positivo para xneq0, e em x=0 f' não existe. Assim
  • Para x<1, tem-se x-1<0, Rightarrow f'(x)<0.
  • Para x>1, tem-se x-1>0, Rightarrow f'(x)>0.
    Concluímos que
f é decrescente em (-infty,1), f é crescente em (1,infty) éé
Em x=1 há mudança de decrescente para crescente, logo mínimo local.

Passo 3

Derivando f'(x)=tfrac35,(x-1)x^-4/5 por produto, obtemos
f''(x) =325,x+4x^95
Para estudar concavidade, olhamos o sinal de (x+4)/x^9/5:
  • Se x>0, então x^9/5>0 e x+4>0, logo f''(x)>0. Portanto em (0,infty) é côncavo para cima.
  • Se -4<x<0, então x+4>0 mas x^9/5<0, logo f''(x)<0. Portanto em (-4,0) é côncavo para baixo.
  • Se x<-4, então x+4<0 e x^9/5<0, logo f''(x)>0. Portanto em (-infty,-4) é côncavo para cima.
    Há mudança de concavidade em x=-4 e em x=0, que são pontos de inflexão (aqui f é contínua, muda o sinal de f'' e em x=0 a tangente é vertical).

Passo 4

Resumo do comportamento para esboço:
  • Limites nas pontas:
    limxto-inftyf(x)=+infty,
    limxto+inftyf(x)=+infty.
  • Decrescente de -infty até x=1, depois crescente.
  • Mínimo local em x=1 com f(1)=tfrac12cdot1^1/5(1-6)=-tfrac52.
  • Concavidade: para cima em (-infty,-4) e (0,infty), para baixo em (-4,0).
  • Pontos de inflexão em x=-4 com
f(-4)=12(-4)^15(-10) =5cdot4^15,
e em x=0 com f(0)=0 (tangente vertical).
Com estas informações desenha-se um ramo que vem de +infty em concavidade para cima, inflete em (-4,,5cdot4^1/5), passa para concavidade para baixo, vai até (0,0) com vertical, continua decrescendo côncavo para cima após 0, atinge o mínimo (1,-5/2) e depois sobe indefinidamente côncavo para cima.

Resposta

(a) f é decrescente em (-infty,1) e crescente em (1,infty).
(b) Não há máximo local; mínimo local em x=1 com f(1)=-tfrac52.
(c) Concavidade para cima em (-infty,-4) e (0,infty); concavidade para baixo em (-4,0). Pontos de inflexão em x=-4 e x=0.
(d) Esboço conforme descrição no passo anterior.

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