Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada por
gamma: x & =t cos (t) y & =t sin (t)
para t in[0, pi].
(Sugestão: Considere a mudança de variável t=sinh (s).)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por
gamma(t)=l(x(t),y(t)r)=l(tcos t,;tsin tr),
para tin[0,pi]. O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica, que é
S=integrala^braizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2;dt

Passo 2

Calculamos as derivadas
x'(t)=cos t - tsin t, y'(t)=sin t + tcos t
Então
l(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =(cos t - tsin t)^2+(sin t + tcos t)^2 =1+t^2
Logo o comprimento de arco é
S=integral0^piraiz1+t^2;dt

Passo 3

Fazemos a mudança de variável sugerida:
Quando temos , e quando temos . Além disso
Substituindo no integral,

Passo 4

Usamos a identidade
cosh^2s=tfrac1+cosh(2s)2,
logo
integralcosh^2s;ds =12integral1,ds+12integralcosh(2s),ds =s2+sinh(2s)4+C
Como sinh(2s)=2sinh scosh s, a primitiva fica
s2+sinh s,cosh s2

Passo 5

Avaliamo de até . Em toda expressão vale zero. Em temos e . Assim

Resposta

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