Questão 6. X (2.0 Pts) Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a equação diferencial:
y^{\prime \prime}-y=8 x e^{x}+2 e^{x}
com as condições iniciais y(0)=1 e y^{\prime}(0)=4.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar claramente o que foi informado e o que se pede:
Equação diferencial: y''-y=8x e^{x}+2 e^{x}.
Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=4.
O enunciado pede: resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados e determinar a solução que satisfaz as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (isso é padrão antes de procurar uma particular). A homogênea é:
y''-y=0.
Assumimos uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_{c}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora vamos achar uma solução particular y_{p} da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados.
Observação importante (por que escolhemos uma forma): o lado direito é um polinômio de grau 1 multiplicado por e^{x}, ou seja (8x+2)e^{x}. Normalmente tentaríamos uma solução particular da forma (Ax+B)e^{x}. No entanto, como e^{x} já aparece na solução homogênea (corresponde à raiz r=1 da característica), devemos multiplicar o palpite por x para obter independência da parte homogênea. Portanto tomamos o palpite:
y_{p}=(a x^{2}+b x)e^{x},
que é equivalente a x(Ax+B)e^{x} com coeficientes indeterminados a e b. Nosso objetivo agora é determinar a e b.
Passo 4
Calculamos y_{p}' e y_{p}'' com cuidado (vou explicar as regras usadas): quando se tem um produto u(x)e^{x}, a derivada é (u'(x)+u(x))e^{x} porque \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e se aplica a regra do produto.
Defina u(x)=a x^{2}+b x. Então u'(x)=2a x+b.
Logo
y_{p}'=(u'(x)+u(x))e^{x}=\bigl(2a x+b + a x^{2}+b x\bigr)e^{x}.
Agrupando termos:
y_{p}'=\bigl(a x^{2}+(2a+b)x + b\bigr)e^{x}.
Para y_{p}'' aplicamos novamente a mesma ideia: se v(x)=a x^{2}+(2a+b)x + b, então v'(x)=2a x+(2a+b) e
y_{p}''=(v'(x)+v(x))e^{x}.
Portanto
y_{p}''=\bigl(2a x+(2a+b) + a x^{2}+(2a+b)x + b\bigr)e^{x}.
Agrupando termos por potências de x:
y_{p}''=\bigl(a x^{2}+(4a+b)x+(2a+2b)\bigr)e^{x}.
Passo 5
Agora montamos [y_{p}’’-y_{p}) e igualamos ao lado direito (8x+2)e^{x}.
somando as duas equações: 2C_{1}=6\Rightarrow C_{1}=3\]. Então \(C_{2}=1-C_{1}=1-3=-2.]
Passo 7
Encontramos as constantes. Não repito aqui a solução final (ela ficará somente na seção de resposta), mas os valores determinados foram C_{1}=3 e C_{2}=-2 e a solução particular foi y_{p}=(2x^{2}-x)e^{x}.