Questão 6. X (2.0 Pts) Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a equação diferencial:
y^{\prime \prime}-y=8 x e^{x}+2 e^{x}
com as condições iniciais y(0)=1 e y^{\prime}(0)=4.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar claramente o que foi informado e o que se pede:
  • Equação diferencial: y''-y=8x e^{x}+2 e^{x}.
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=4.
  • O enunciado pede: resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados e determinar a solução que satisfaz as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (isso é padrão antes de procurar uma particular). A homogênea é:
y''-y=0.
Assumimos uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica:
r^{2}-1=0.
Resolvendo:
r^{2}-1=(r-1)(r+1)=0\quad\Rightarrow\quad r=1,\\\ -1.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_{c}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora vamos achar uma solução particular y_{p} da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados.
Observação importante (por que escolhemos uma forma): o lado direito é um polinômio de grau 1 multiplicado por e^{x}, ou seja (8x+2)e^{x}. Normalmente tentaríamos uma solução particular da forma (Ax+B)e^{x}. No entanto, como e^{x} já aparece na solução homogênea (corresponde à raiz r=1 da característica), devemos multiplicar o palpite por x para obter independência da parte homogênea. Portanto tomamos o palpite:
y_{p}=(a x^{2}+b x)e^{x},
que é equivalente a x(Ax+B)e^{x} com coeficientes indeterminados a e b. Nosso objetivo agora é determinar a e b.

Passo 4

Calculamos y_{p}' e y_{p}'' com cuidado (vou explicar as regras usadas): quando se tem um produto u(x)e^{x}, a derivada é (u'(x)+u(x))e^{x} porque \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e se aplica a regra do produto.
Defina u(x)=a x^{2}+b x. Então u'(x)=2a x+b.
Logo
y_{p}'=(u'(x)+u(x))e^{x}=\bigl(2a x+b + a x^{2}+b x\bigr)e^{x}.
Agrupando termos:
y_{p}'=\bigl(a x^{2}+(2a+b)x + b\bigr)e^{x}.
Para y_{p}'' aplicamos novamente a mesma ideia: se v(x)=a x^{2}+(2a+b)x + b, então v'(x)=2a x+(2a+b) e
y_{p}''=(v'(x)+v(x))e^{x}.
Portanto
y_{p}''=\bigl(2a x+(2a+b) + a x^{2}+(2a+b)x + b\bigr)e^{x}.
Agrupando termos por potências de x:
y_{p}''=\bigl(a x^{2}+(4a+b)x+(2a+2b)\bigr)e^{x}.

Passo 5

Agora montamos [y_{p}’’-y_{p}) e igualamos ao lado direito (8x+2)e^{x}.
Subtraindo:
y_{p}''-y_{p}=\bigl(a x^{2}+(4a+b)x+(2a+2b)\bigr)e^{x} - \bigl(a x^{2}+b x\bigr)e^{x}.
Cancelam os termos a x^{2}e^{x}. Fica:
y_{p}''-y_{p}=\bigl(4a x+(2a+2b)\bigr)e^{x}.
Devemos ter
\bigl(4a x+(2a+2b)\bigr)e^{x}=(8x+2)e^{x}.
Como e^{x} nunca é zero, igualamos os polinômios:
4a x+(2a+2b)=8x+2.
Comparando coeficientes de x e dos termos constantes:
\begin{cases} 4a=8,\\[4pt] 2a+2b=2. \end{cases}
Da primeira equação (a=2]. Substituindo na segunda:
2\cdot 2 + 2b=2 \quad\Rightarrow\quad 4+2b=2 \quad\Rightarrow\quad 2b=-2 \quad\Rightarrow\quad b=-1.
Portanto a solução particular é
y_{p}=(2x^{2}-x)e^{x}.]

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+(2x^{2}-x)e^{x}.
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar [C_{1}) e C_{2}.
Primeiro y(0)=1. Avaliando em x=0:
y(0)=C_{1}+C_{2}+(0-0)\cdot e^{0}=C_{1}+C_{2}=1.
Logo
C_{1}+C_{2}=1. \tag{1}
Precisamos de y'(x) para usar y'(0)=4. Derivamos y(x). Derivada termo a termo:
  • \frac{d}{dx}\bigl(C_{1}e^{x}\bigr)=C_{1}e^{x}.
  • \frac{d}{dx}\bigl(C_{2}e^{-x}\bigr)=-C_{2}e^{-x}.
  • Para (2x^{2}-x)e^{x} usamos a regra usada antes: se w(x)=2x^{2}-x então w'(x)=4x-1 e a derivada é (w'(x)+w(x))e^{x}. Assim
\frac{d}{dx}\bigl((2x^{2}-x)e^{x}\bigr)=\bigl(4x-1+2x^{2}-x\bigr)e^{x}=\bigl(2x^{2}+3x-1\bigr)e^{x}.
Portanto
y'(x)=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x}+\bigl(2x^{2}+3x-1\bigr)e^{x}.
Avalie em x=0:
y'(0)=C_{1}-C_{2}+(-1)=4.
Assim
C_{1}-C_{2}-1=4\quad\Rightarrow\quad C_{1}-C_{2}=5. \tag{2}
Resolvendo o sistema linear formado por (1) e (2):
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] C_{1}-C_{2}=5, \end{cases}
somando as duas equações: 2C_{1}=6\Rightarrow C_{1}=3\]. Então \(C_{2}=1-C_{1}=1-3=-2.]

Passo 7

Encontramos as constantes. Não repito aqui a solução final (ela ficará somente na seção de resposta), mas os valores determinados foram C_{1}=3 e C_{2}=-2 e a solução particular foi y_{p}=(2x^{2}-x)e^{x}.

Resposta

y(x)=e^{x}\bigl(2x^{2}-x+3\bigr)-2e^{-x}

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