Questão 5. X (2.0 Pts) Usando o método da variação dos parâmetros, encontre uma solução geral para a equação diferencial:

Passo 1

O enunciado pede: “Usando o método da variação dos parâmetros, encontre uma solução geral para a equação diferencial.”
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma além da instrução do método. Não foi enviada a própria equação diferencial a ser resolvida.

Passo 2

Antes de tentar resolver um caso concreto, vou explicar passo a passo o que é preciso ter e quais são as etapas do método da variação dos parâmetros — assim você aprende a aplicar direto na prova quando tiver a equação. Primeiro, a equação deve estar escrita na forma padrão
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = g(x).
Aqui:
  • y é a função incógnita y(x);
  • p(x) e q(x) são funções conhecidas (coeficientes);
  • g(x) é o termo não-homogêneo (fonte).
    O objetivo do método da variação dos parâmetros é obter uma solução particular y_p(x) dessa equação usando as soluções da equação homogênea associada.

Passo 3

Etapa obrigatória 1: resolver a equação homogênea associada
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0
e obter duas soluções linearmente independentes \,y_1(x)\, e \,y_2(x)\,. A solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1\,y_1(x) + C_2\,y_2(x),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
Definição importante: o wronskiano W(x) de y_1 e y_2 é
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[4pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1(x)\,y_2'(x)-y_1'(x)\,y_2(x).
É preciso que W(x)\neq 0 no intervalo considerado para que y_1,y_2 sejam independentes.]

Passo 4

Variação dos parâmetros: procura-se uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x),
onde u_1(x) e u_2(x) são funções a determinar (em contraste com C_1,C_2, que são constantes). Para obter equações mais simples impõe-se a condição auxiliar
u_1'(x)\,y_1(x)+u_2'(x)\,y_2(x)=0.
Diferenciando y_p e usando a condição acima obtém-se outra equação
u_1'(x)\,y_1'(x)+u_2'(x)\,y_2'(x)=g(x).
Essas duas equações lineares em u_1' e u_2' formam o sistema
\begin{cases} u_1'(x)\,y_1(x)+u_2'(x)\,y_2(x)=0,\\[4pt] u_1'(x)\,y_1'(x)+u_2'(x)\,y_2'(x)=g(x). \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para u_1' e u_2' usando o wronskiano leva às fórmulas padrão
u_1'(x)=-\dfrac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\dfrac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)}.
Depois integra-se:
u_1(x)=\int u_1'(x)\,dx,\qquad u_2(x)=\int u_2'(x)\,dx.
Em seguida obtém-se y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x) e a solução geral da equação não-homogênea é
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\,y_1(x)+C_2\,y_2(x)+y_p(x).
Observação prática: quaisquer constantes surgidas nas integrais de u_1,u_2 podem ser absorvidas em C_1 e C_2, por isso ao calcular u_1,u_2 costuma-se tomar apenas uma primitiva particular (sem constante).

Passo 6

Dicas para a prova — como executar sem erro:
  • Primeiro coloque a equação na forma \,y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)\,.
  • Encontre y_1,y_2 resolvendo a homogênea; calcule W.
  • Use as fórmulas para u_1',u_2'. Simplifique antes de integrar (às vezes cancelam exponenciais, potências etc.).
  • Se as integrais não forem elementares, verifique se há erro ou se outro método (redução de ordem, variação de parâmetros com mudança de variável) seria mais rápido; mas para exercícios de prova normalmente dão integrais realizáveis à mão.
  • Sempre verifique que W\neq 0 no intervalo.

Passo 7

Exemplo completo (modelo de como fazer na prova). Considere a equação
y''-y=e^{x}.
  1. Forma padrão já dada. 2) Equação homogênea y''-y=0 tem equação característica r^{2}-1=0 com raízes r=\pm1. Assim
y_1(x)=e^{x},\qquad y_2(x)=e^{-x}.
  1. Wronskiano:
W(x)=\begin{vmatrix} e^{x} & e^{-x} \\[4pt] e^{x} & -e^{-x} \end{vmatrix}=e^{x}(-e^{-x})-e^{x}e^{-x}=-1-1=-2.
  1. Aplicar as fórmulas:
u_1'(x)=-\dfrac{y_2(x)g(x)}{W(x)}=-\dfrac{e^{-x}\cdot e^{x}}{-2}=\dfrac{1}{2},
u_2'(x)=\dfrac{y_1(x)g(x)}{W(x)}=\dfrac{e^{x}\cdot e^{x}}{-2}=-\dfrac{1}{2}e^{2x}.
  1. Integrando:
u_1(x)=\int \dfrac{1}{2}\,dx=\dfrac{x}{2},\qquad u_2(x)=\int -\dfrac{1}{2}e^{2x}\,dx=-\dfrac{1}{4}e^{2x}.
  1. Constrói-se y_p:
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)=\dfrac{x}{2}e^{x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}\cdot e^{-x}=e^{x}\Big(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\Big).
  1. Solução geral:
y(x)=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+e^{x}\Big(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\Big).
Esse exemplo mostra todas as etapas que você deve reproduzir para a equação específica da sua prova.]

Passo 8

Importante: para resolver a sua Questão 5 exatamente como pedida eu precisaria da equação diferencial específica (o enunciado que contém p(x),q(x) e g(x) ou a forma exata do lado direito). Como essa equação não foi enviada, não é possível calcular a solução particular e a solução geral solicitada para o exercício exato. Ainda assim, com os passos e o exemplo acima você já tem o procedimento completo para aplicar na prova.

Resposta

Não é possível resolver: a equação diferencial não foi fornecida.

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