J. O Questão 2.
(2.0 Pts) Considere a equação diferencial:
Verifique se a equação é exata e encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O que é pedido:
- Verificar se a equação é exata.
- Se for exata, encontrar a solução geral (a solução implícita
constante).
Informações relevantes que já podemos extrair do enunciado:
- Podemos identificar as funções
e na forma padrão
portanto
Passo 2
Explicação do conceito que vamos usar (aula rapidinha, sem pânico):
- Uma equação na forma
é exata se existir uma função potencial tal que
- Uma condição prática e suficiente (em domínios apropriados) para exatidão é
Isto vem do fato de que se
e
, então as segundas derivadas mistas
e
devem coincidir (derivadas mistas iguais).
- O procedimento para resolver quando a equação é exata:
- Verificar se
. - Se sim, encontrar
integrando em relação a (tratando como constante) e adicionando uma função arbitrária . - Determinar
diferenciando o resultado em relação a e igualando a . - A solução geral é
.
- Verificar se
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias com cuidado (mostrando passo a passo):
Calcule
. Temos
.
A primeira parcela é zero porque
não depende de
. Na segunda,
é tratado como constante ao derivar em
, e
. Assim
Calcule
. Temos
.
A segunda parcela é zero porque
não depende de
. Na primeira,
é constante ao diferenciar em
, e
. Assim
Passo 4
Comparação e conclusão sobre exatidão:
Encontramos
portanto
. Conclusão: a equação é exata no domínio considerado. Bom sinal — podemos buscar uma função potencial
tal que
e
.
Passo 5
Construir a função potencial
integrando
em relação a
:
Queremos
. Integramos em
, tratando
como constante:
Faço a integral termo a termo:
Então
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Passo 6
Determinar
usando a condição
:
Calcule
a partir da expressão obtida:
Por definição deve valer
. Igualando:
Cancelando
em ambos os lados obtemos
Agora integramos em
:
Podemos absorver a constante
depois na constante geral da solução.
Passo 7
Montar a solução geral e interpretar:
Substituindo
em
:
A solução geral implícita da equação exata é
ou seja
onde
é constante arbitrária. (Se quiser verificar, basta derivar implicitamente e conferir que retorna à equação original.)