J. O Questão 2. x (2.0 Pts) Considere a equação diferencial:
\left(3 x^{2}+6 x y^{2}\right)+\left(6 x^{2} y+4 y^{3}\right) \frac{d y}{d x}=0
Verifique se a equação é exata e encontre a solução geral.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\left(3 x^{2}+6 x y^{2}\right)+\left(6 x^{2} y+4 y^{3}\right)\frac{d y}{d x}=0.
O que é pedido:
  • Verificar se a equação é exata.
  • Se for exata, encontrar a solução geral (a solução implícita \psi(x,y)= constante).
Informações relevantes que já podemos extrair do enunciado:
  • Podemos identificar as funções M(x,y) e N(x,y) na forma padrão
M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0,
portanto
M(x,y)=3x^{2}+6x y^{2},\qquad N(x,y)=6x^{2}y+4y^{3}.

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar (aula rapidinha, sem pânico):
  • Uma equação na forma M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0 é exata se existir uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y).
  • Uma condição prática e suficiente (em domínios apropriados) para exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Isto vem do fato de que se \psi_{x}=M e \psi_{y}=N, então as segundas derivadas mistas \psi_{xy} e \psi_{yx} devem coincidir (derivadas mistas iguais).
  • O procedimento para resolver quando a equação é exata:
    1. Verificar se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.
    2. Se sim, encontrar \psi integrando M em relação a x (tratando y como constante) e adicionando uma função arbitrária h(y).
    3. Determinar h(y) diferenciando o resultado em relação a y e igualando a N.
    4. A solução geral é \psi(x,y)=C.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias com cuidado (mostrando passo a passo):
Calcule \dfrac{\partial M}{\partial y}. Temos M(x,y)=3x^{2}+6x y^{2}.
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(6x y^{2}\big).
A primeira parcela é zero porque 3x^{2} não depende de y. Na segunda, 6x é tratado como constante ao derivar em y, e \dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y. Assim
\frac{\partial M}{\partial y}=6x\cdot 2y = 12xy.
Calcule \dfrac{\partial N}{\partial x}. Temos N(x,y)=6x^{2}y+4y^{3}.
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(6x^{2}y\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(4y^{3}\big).
A segunda parcela é zero porque 4y^{3} não depende de x. Na primeira, y é constante ao diferenciar em x, e \dfrac{d}{dx}(6x^{2})=12x. Assim
\frac{\partial N}{\partial x}=12x y.

Passo 4

Comparação e conclusão sobre exatidão:
Encontramos
\frac{\partial M}{\partial y}=12xy\quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}=12xy,
portanto \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}. Conclusão: a equação é exata no domínio considerado. Bom sinal — podemos buscar uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x=M e \psi_y=N.

Passo 5

Construir a função potencial \psi(x,y) integrando M em relação a x:
Queremos \psi_x(x,y)=M(x,y)=3x^{2}+6x y^{2}. Integramos em x, tratando y como constante:
\psi(x,y)=\int\big(3x^{2}+6x y^{2}\big)\,dx.
Faço a integral termo a termo:
\int 3x^{2}\,dx = x^{3}, \qquad \int 6x y^{2}\,dx = 6y^{2}\int x\,dx = 6y^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=3x^{2}y^{2}.
Então
\psi(x,y)=x^{3}+3x^{2}y^{2}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).

Passo 6

Determinar h(y) usando a condição \psi_{y}=N:
Calcule \psi_{y} a partir da expressão obtida:
\psi_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}+3x^{2}y^{2}+h(y)\big) = 0 + 3x^{2}\cdot 2y + h'(y) = 6x^{2}y + h'(y).
Por definição deve valer \psi_{y}=N(x,y)=6x^{2}y+4y^{3}. Igualando:
6x^{2}y + h'(y) = 6x^{2}y + 4y^{3}.
Cancelando 6x^{2}y em ambos os lados obtemos
h'(y)=4y^{3}.
Agora integramos em y:
h(y)=\int 4y^{3}\,dy = 4\cdot\frac{y^{4}}{4}=y^{4} + C_0.
Podemos absorver a constante C_0 depois na constante geral da solução.

Passo 7

Montar a solução geral e interpretar:
Substituindo h(y)=y^{4} em \psi:
\psi(x,y)=x^{3}+3x^{2}y^{2}+y^{4}.
A solução geral implícita da equação exata é
\psi(x,y)=C,
ou seja
x^{3}+3x^{2}y^{2}+y^{4}=C,
onde C é constante arbitrária. (Se quiser verificar, basta derivar implicitamente e conferir que retorna à equação original.)

Resposta

x^{3}+3x^{2}y^{2}+y^{4}=C

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