Questão 4. (2.0 Pts) Considere um sistema de massa-mola-amortecedor onde a massa é m=1 \mathrm{~kg}. O sistema possui um coeficiente de amortecimento c=4 \mathrm{Ns} / \mathrm{m} e uma constante elástica k=13 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O sistema é ativado por uma força externa constante de 26 N que é aplicada abruptamente no tempo t=2 segundos. A equação diferencial que modela o deslocamento y(t) da massa a partir do equilíbrio é dada por:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+13 y=26 u(t-2)
onde u(t-2) é a função degrau unitário (Heaviside). Assumindo que a massa está inicialmente em repouso na posição de equilíbrio: \mathbf{y}(\mathbf{0})=\mathbf{0} e \quad \mathbf{y}^{\prime}(\mathbf{0})=\mathbf{0}.Determine a solução \mathbf{y}(\mathbf{t}) para o deslocamento da massa para todo t \geq 0, utilizando o método da Transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado fornece a seguinte equação diferencial para o deslocamento y(t):
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+13y=26\,u(t-2),
com condição inicial
y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Dados numéricos (já usados na equação): m=1\\ \mathrm{kg} (já normalizado), c=4\\ \mathrm{N\,s/m}, k=13\\ \mathrm{N/m}. A função u(t-2) é o degrau unitário deslocado (Heaviside) que “liga” a força constante de 26\\ \mathrm{N} abruptamente em t=2\\ \mathrm{s}.
O que o exercício pede:
  • Determinar a solução y(t) para todo t\ge 0 usando transformada de Laplace.

Passo 2

Breve lembrete didático das ferramentas que vou usar (sem pular etapas):
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função \varphi(t) com crescimento apropriado,
\mathcal{L}\{\varphi(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\varphi(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada.
  • Transformadas de derivadas (úteis para transformar a EDO):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
  • Transformada do degrau deslocado e teorema do deslocamento no tempo:
\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-a s}}{s},
e mais útil ainda,
\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-a s}F(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. Isto significa que multiplicar por e^{-a s} no domínio s corresponde a atrasar no tempo a função resultante.
  • Inversas padrão que usarei:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\}=e^{-a t}\cos(bt), \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\}=e^{-a t}\sin(bt).

Passo 3

Aplicar \mathcal{L}\{\cdot\} na equação dada. Tomando transformada dos dois lados e usando as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0:
\mathcal{L}\{y''\}+4\mathcal{L}\{y'\}+13\mathcal{L}\{y\} = 26\,\mathcal{L}\{u(t-2)\}.
Substituindo as fórmulas das transformadas:
(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)) +4(sY(s)-y(0)) +13Y(s) = 26\frac{e^{-2s}}{s}.
Como y(0)=y'(0)=0, isto simplifica para
(s^{2}+4s+13)\,Y(s) = 26\,\frac{e^{-2s}}{s}.
Logo
Y(s)=26\,\frac{e^{-2s}}{s(s^{2}+4s+13)}.

Passo 4

Interpretação conveniente: escrevemos
Y(s)=26\,e^{-2s}\cdot F(s), \qquad \text{onde}\quad F(s)=\frac{1}{s(s^{2}+4s+13)}.
Pelo teorema do deslocamento no tempo, isso implica que a solução no tempo é da forma
y(t)=26\,u(t-2)\,f(t-2),
onde f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. Ou seja: primeiro encontro f(t) (resposta ao mesmo forçamento que começa em t=0), depois atraso de 2 segundos e multiplico por u(t-2). Observação física: antes de t=2 não há força e, com condições iniciais zeradas, y(t)=0 para 0\le t<2.

Passo 5

Agora calculo [f(t)=\mathcal{L}{-1}!\left{\dfrac{1}{s(s{2}+4s+13)}\right}) por frações parciais.
Proponho a decomposição
\frac{1}{s(s^{2}+4s+13)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4s+13}.
Multiplicando por s(s^{2}+4s+13):
1 = A(s^{2}+4s+13) + (Bs+C)s.
Expandindo:
1 = (A+B)s^{2} + (4A + C)s + 13A.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 4A + C = 0,\\[4pt] 13A = 1. \end{cases}
Da última equação A=\dfrac{1}{13}\]. Então \(B=-A=-\dfrac{1}{13} e C=-4A=-\dfrac{4}{13}.
Portanto
\frac{1}{s(s^{2}+4s+13)}=\frac{1}{13}\cdot\frac{1}{s} -\frac{1}{13}\cdot\frac{s+4}{s^{2}+4s+13}.]

Passo 6

Para inverter a segunda parcela, primeiro completo o quadrado no denominador:
s^{2}+4s+13=(s+2)^{2}+9.
E escrevo o numerador s+4 em termos de s+2:
s+4=(s+2)+2.
Logo
\frac{s+4}{s^{2}+4s+13}=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}}+\frac{2}{(s+2)^{2}+3^{2}}.
Agora uso as inversas padrão:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}}\right\}=e^{-2t}\cos(3t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}}\right\}=e^{-2t}\sin(3t).
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{(s+2)^{2}+3^{2}}\right\} = \frac{2}{3}e^{-2t}\sin(3t).

Passo 7

Juntando tudo:
f(t)=\frac{1}{13}\cdot 1 -\frac{1}{13}\Big(e^{-2t}\cos(3t)+\frac{2}{3}e^{-2t}\sin(3t)\Big).
Ou seja
f(t)=\frac{1}{13}\left[1 - e^{-2t}\cos(3t) -\frac{2}{3}e^{-2t}\sin(3t)\right].
Isto é a resposta ao degrau unitário aplicado em t=0 de amplitude 1 com os mesmos parâmetros do sistema.

Passo 8

Voltando para y(t) usando o deslocamento de 2 segundos e o fator 26:
y(t)=26\,u(t-2)\,f(t-2).
Substituindo f:
y(t)=26\,u(t-2)\cdot\frac{1}{13}\left[1 - e^{-2(t-2)}\cos(3(t-2)) -\frac{2}{3}e^{-2(t-2)}\sin(3(t-2))\right].
Simplificando 26/13=2:
y(t)=2\,u(t-2)\left[1 - e^{-2(t-2)}\cos(3(t-2)) -\frac{2}{3}e^{-2(t-2)}\sin(3(t-2))\right].
Também observação física rápida (checagem): o valor de regime permanente sob força constante 26 é 26/k=26/13=2, que aparece como o termo constante aqui — sinal de que o resultado faz sentido.

Resposta

y(t)=0,\quad 0\le t<2\n
y(t)=2\left[1 - e^{-2(t-2)}\cos\big(3(t-2)\big) -\dfrac{2}{3}e^{-2(t-2)}\sin\big(3(t-2)\big)\right],\quad t\ge 2

Exercícios relacionados