Questão 4. (2.0 Pts) Considere um sistema de massa-mola-amortecedor onde a massa é m=1 \mathrm{~kg}. O sistema possui um coeficiente de amortecimento c=4 \mathrm{Ns} / \mathrm{m} e uma constante elástica k=13 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O sistema é ativado por uma força externa constante de 26 N que é aplicada abruptamente no tempo t=2 segundos. A equação diferencial que modela o deslocamento y(t) da massa a partir do equilíbrio é dada por:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+13 y=26 u(t-2)
onde u(t-2) é a função degrau unitário (Heaviside). Assumindo que a massa está inicialmente em repouso na posição de equilíbrio: \mathbf{y}(\mathbf{0})=\mathbf{0} e \quad \mathbf{y}^{\prime}(\mathbf{0})=\mathbf{0}.Determine a solução \mathbf{y}(\mathbf{t}) para o deslocamento da massa para todo t \geq 0, utilizando o método da Transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado fornece a seguinte equação diferencial para o deslocamento y(t):
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+13y=26\,u(t-2),
com condição inicial
y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Dados numéricos (já usados na equação): m=1\\ \mathrm{kg} (já normalizado), c=4\\ \mathrm{N\,s/m}, k=13\\ \mathrm{N/m}. A função u(t-2) é o degrau unitário deslocado (Heaviside) que “liga” a força constante de 26\\ \mathrm{N} abruptamente em t=2\\ \mathrm{s}.
O que o exercício pede:
Determinar a solução y(t) para todo t\ge 0 usando transformada de Laplace.
Passo 2
Breve lembrete didático das ferramentas que vou usar (sem pular etapas):
Definição da transformada de Laplace: para uma função \varphi(t) com crescimento apropriado,
Pelo teorema do deslocamento no tempo, isso implica que a solução no tempo é da forma
y(t)=26\,u(t-2)\,f(t-2),
onde f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. Ou seja: primeiro encontro f(t) (resposta ao mesmo forçamento que começa em t=0), depois atraso de 2 segundos e multiplico por u(t-2). Observação física: antes de t=2 não há força e, com condições iniciais zeradas, y(t)=0 para 0\le t<2.
Passo 5
Agora calculo [f(t)=\mathcal{L}{-1}!\left{\dfrac{1}{s(s{2}+4s+13)}\right}) por frações parciais.
Também observação física rápida (checagem): o valor de regime permanente sob força constante 26 é 26/k=26/13=2, que aparece como o termo constante aqui — sinal de que o resultado faz sentido.