Questão 1: (6 pts) Verifique se são espaços vetoriais.
O Conjunto
pode ser um espaço vetorial? Justifique sua resposta.
O Conjunto
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para verificar se esse conjunto pode ser um espaço vetorial. Informações relevantes fornecidas:
- O conjunto é um subconjunto de
. - Está excluído exatamente o vetor
; todos os outros pares reais pertencem a . - Presume-se as operações usuais em
(adição componente a componente e multiplicação por escalar real).
Passo 2
Lembrando (de forma prática) o que é necessário para um conjunto ser espaço vetorial sobre
:
- Deve existir um vetor nulo (zero) em
. - Deve ser fechado sob adição: se
e então . - Deve ser fechado sob multiplicação por escalar: se
e então .
Se qualquer uma dessas propriedades (ou outra axioma) falhar, então o conjunto não é espaço vetorial. Vou usar essas condições porque são fáceis de testar e frequentemente falham em subconjuntos obtidos por excluir um vetor específico.
Passo 3
Verificação do vetor zero: o vetor zero em
é
. Como
, temos
. Portanto a presença do vetor zero não é o problema aqui.
Passo 4
Verificação da clausura na adição com um contraexemplo concreto. Considere os vetores
Ambos satisfazem
e
, logo
e
. Agora calcule a soma:
Mas
foi explicitamente excluído do conjunto, então
. Assim encontramos
tais que
, ou seja,
não é fechado sob adição.
(Comentário adicional, reforçando) Também se preferir ver pela multiplicação por escalar: tome porque
. Para o escalar
temos
(Comentário adicional, reforçando) Também se preferir ver pela multiplicação por escalar: tome
logo
não é fechado sob multiplicação por escalar. Isso dá outra demonstração do fracasso de um dos axiomas.
Passo 5
Conclusão lógica: como falha a clausura na adição (e também na multiplicação por escalar),
não satisfaz os axiomas de espaço vetorial. Portanto
não pode ser um espaço vetorial.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial. Por exemplo,
e
, mas
, logo
não é fechado sob adição.