Questão 1: (6 pts) Verifique se são espaços vetoriais.
O Conjunto V=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ;(x, y) \neq(1,0)\right\} pode ser um espaço vetorial? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid (x,y)\neq(1,0)\} e pede para verificar se esse conjunto pode ser um espaço vetorial. Informações relevantes fornecidas:
  • O conjunto é um subconjunto de \mathbb{R}^2.
  • Está excluído exatamente o vetor (1,0); todos os outros pares reais pertencem a V.
  • Presume-se as operações usuais em \mathbb{R}^2 (adição componente a componente e multiplicação por escalar real).

Passo 2

Lembrando (de forma prática) o que é necessário para um conjunto ser espaço vetorial sobre \mathbb{R}:
  • Deve existir um vetor nulo (zero) em V.
  • Deve ser fechado sob adição: se u\in V e v\in V então u+v\in V.
  • Deve ser fechado sob multiplicação por escalar: se u\in V e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in V.
    Se qualquer uma dessas propriedades (ou outra axioma) falhar, então o conjunto não é espaço vetorial. Vou usar essas condições porque são fáceis de testar e frequentemente falham em subconjuntos obtidos por excluir um vetor específico.

Passo 3

Verificação do vetor zero: o vetor zero em \mathbb{R}^2 é (0,0). Como (0,0)\neq(1,0), temos (0,0)\in V. Portanto a presença do vetor zero não é o problema aqui.

Passo 4

Verificação da clausura na adição com um contraexemplo concreto. Considere os vetores
u=(2,0),\qquad v=(-1,0).
Ambos satisfazem u\neq(1,0) e v\neq(1,0), logo u\in V e v\in V. Agora calcule a soma:
u+v=(2,0)+(-1,0)=(2+(-1),\,0+0)=(1,0).
Mas (1,0) foi explicitamente excluído do conjunto, então (1,0)\notin V. Assim encontramos u,v\in V tais que u+v\notin V, ou seja, V não é fechado sob adição.
(Comentário adicional, reforçando) Também se preferir ver pela multiplicação por escalar: tome w=(\tfrac{1}{2},0)\in V porque w\neq(1,0). Para o escalar \lambda=2 temos
\lambda w = 2\cdot\Big(\tfrac{1}{2},0\Big)=(1,0)\notin V,
logo V não é fechado sob multiplicação por escalar. Isso dá outra demonstração do fracasso de um dos axiomas.

Passo 5

Conclusão lógica: como falha a clausura na adição (e também na multiplicação por escalar), V não satisfaz os axiomas de espaço vetorial. Portanto V não pode ser um espaço vetorial.

Resposta

Não, V não é um espaço vetorial. Por exemplo, (2,0)\in V e (-1,0)\in V, mas (2,0)+(-1,0)=(1,0)\notin V, logo V não é fechado sob adição.

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