Questão 2 Sendo
espaço vetorial
, usando a definição de subespaço vetorial, verifique se
e subespaço vetorial de
.
. e
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço vetorial de
. As informações dadas são:
Pergunta explícita: verificar, usando a definição de subespaço vetorial, se
é subespaço de
.
Passo 2
Vou lembrar a definição de subespaço vetorial e o que precisamos checar — isso é importante para você saber o que fazer na prova:
Definição (forma prática): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se e somente se
-
não é vazio (usualmente verificamos se o vetor zero de pertence a ); -
é fechado sob soma: se então ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Explicando cada item de forma bem direta:
- “Não vazio”: na prática basta mostrar que a matriz zero
está em . - “Fechado sob soma”: pegar duas matrizes genéricas de
e somá-las; verificar que a coordenada que tem a condição ( ) permanece satisfeita após a soma. - “Fechado sob escalar”: multiplicar uma matriz genérica de
por um escalar e verificar que a condição continua valendo.
Agora vamos aplicar esses cheques ao nosso
.
Passo 3
Verificar que
não é vazio mostrando que a matriz zero pertence a
.
A matriz zero é
Aqui
e
. Checamos a condição de
:
portanto
é satisfeita. Logo
. Assim
não é vazio.]
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
Sejam duas matrizes quaisquer de
:
com
e
(essas igualdades vêm da hipótese
).
A soma é
Precisamos verificar a condição
para
, isto é, checar se
Usando
e
temos
Portanto a soma satisfaz a condição, logo
. Assim
é fechado sob soma.]
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Seja
, então
. Seja
. Calculamos
Devemos checar se
. Usando
,
Logo a condição continua verdadeira após multiplicar por
. Portanto
e
é fechado sob multiplicação por escalar.]
Passo 6
Conclusão final com base nos cheques: já mostramos que
(não vazio), que
é fechado sob soma e que é fechado sob multiplicação por escalares. Esses três itens são suficientes (pela definição prática) para concluir que
é um subespaço vetorial de
.
Se quiser um insight rápido para a prova: a condição
é uma restrição linear entre as entradas da matriz (é do tipo “uma coordenada = combinação linear das outras”), e conjuntos definidos por equações lineares homogêneas costumam ser subespaços — aqui mostramos isso diretamente pelas propriedades.
Resposta
Sim,
é subespaço vetorial de
.