Questão 2 Sendo V espaço vetorial U \subset V, usando a definição de subespaço vetorial, verifique se U e subespaço vetorial de V.
V=M(2,2)=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) ; a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\}. e U=M(2,2)=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) ; a, b, c, d \in \mathbb{R}\right. e b= 2 c\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se U é subespaço vetorial de V. As informações dadas são:
V = M(2,2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix} \; ; \; a,b,c,d \in \mathbb{R} \right\}.
U = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix} \in M(2,2) \; ; \; b = 2c \right\}.
Pergunta explícita: verificar, usando a definição de subespaço vetorial, se U é subespaço de V.

Passo 2

Vou lembrar a definição de subespaço vetorial e o que precisamos checar — isso é importante para você saber o que fazer na prova:
Definição (forma prática): um subconjunto U de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se e somente se
  1. U não é vazio (usualmente verificamos se o vetor zero de V pertence a U);
  2. U é fechado sob soma: se x,y \in U então x+y \in U;
  3. U é fechado sob multiplicação por escalar: se x \in U e \lambda \in \mathbb{R} então \lambda x \in U.
Explicando cada item de forma bem direta:
  • “Não vazio”: na prática basta mostrar que a matriz zero 0_{2\times2} está em U.
  • “Fechado sob soma”: pegar duas matrizes genéricas de U e somá-las; verificar que a coordenada que tem a condição ( b=2c) permanece satisfeita após a soma.
  • “Fechado sob escalar”: multiplicar uma matriz genérica de U por um escalar \lambda e verificar que a condição b=2c continua valendo.
Agora vamos aplicar esses cheques ao nosso U.

Passo 3

Verificar que U não é vazio mostrando que a matriz zero pertence a U.
A matriz zero é
0_{2\times2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui b=0 e c=0. Checamos a condição de U:
b = 0 \quad\text{e}\quad 2c = 2\cdot 0 = 0,
portanto b = 2c é satisfeita. Logo 0_{2\times2} \in U. Assim U não é vazio.]

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
Sejam duas matrizes quaisquer de U:
X = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\[4pt] c_1 & d_1 \end{pmatrix},\qquad Y = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\[4pt] c_2 & d_2 \end{pmatrix},
com b_1 = 2c_1 e b_2 = 2c_2 (essas igualdades vêm da hipótese X,Y\in U).
A soma é
X+Y = \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\[4pt] c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix}.
Precisamos verificar a condição (\text{entrada } (1,2)) = 2 \times (\text{entrada } (2,1)) para X+Y, isto é, checar se
b_1+b_2 = 2(c_1+c_2).
Usando b_1 = 2c_1 e b_2 = 2c_2 temos
b_1+b_2 = 2c_1 + 2c_2 = 2(c_1 + c_2).
Portanto a soma satisfaz a condição, logo X+Y \in U. Assim U é fechado sob soma.]

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Seja X = \begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix}\in U, então b = 2c. Seja \lambda \in \mathbb{R}. Calculamos
\lambda X = \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\[4pt] \lambda c & \lambda d \end{pmatrix}.
Devemos checar se \lambda b = 2(\lambda c). Usando b = 2c,
\lambda b = \lambda(2c) = 2(\lambda c).
Logo a condição continua verdadeira após multiplicar por \lambda. Portanto \lambda X \in U e U é fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 6

Conclusão final com base nos cheques: já mostramos que 0_{2\times2}\in U (não vazio), que U é fechado sob soma e que é fechado sob multiplicação por escalares. Esses três itens são suficientes (pela definição prática) para concluir que U é um subespaço vetorial de V.
Se quiser um insight rápido para a prova: a condição b=2c é uma restrição linear entre as entradas da matriz (é do tipo “uma coordenada = combinação linear das outras”), e conjuntos definidos por equações lineares homogêneas costumam ser subespaços — aqui mostramos isso diretamente pelas propriedades.

Resposta

Sim, U é subespaço vetorial de V.

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