Questão (2(3 Pts)) Verifique se o vetor u pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto A em cada caso. Se sim, determine a combinação.
\mathbf{u}=(5,9) e A=\{(1,2),(3,5)\} em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \mathbf{u}=(5,9) e o conjunto A=\{(1,2),(3,5)\} em \mathbb{R}^{2}. A pergunta é: verificar se \mathbf{u} pode ser escrito como combinação linear dos vetores de A e, se sim, determinar essa combinação (os coeficientes escalares).
Informações relevantes fornecidas:
  • O vetor a representar: \mathbf{u}=(5,9).
  • Os vetores do conjunto A: (1,2) e (3,5).
  • O que se pede: encontrar escalares c_{1} e c_{2} tais que \mathbf{u}=c_{1}(1,2)+c_{2}(3,5), ou mostrar que tal representação não existe.

Passo 2

Entendendo o que é escrever \mathbf{u} como combinação linear: dizer que \mathbf{u} é combinação linear de (1,2) e (3,5) significa encontrar escalares c_{1} e c_{2} (números reais) com
\mathbf{u}=c_{1}(1,2)+c_{2}(3,5).
Aqui c_{1} e c_{2} são os coeficientes que multiplicam cada vetor; o resultado da soma deve ser o vetor (5,9).

Passo 3

Converter a igualdade de vetores em um sistema de equações para as componentes. Escrevendo componente a componente:
c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot 3 = 5,
c_{1}\cdot 2 + c_{2}\cdot 5 = 9.
Em forma de sistema:
\begin{cases} c_{1}+3c_{2}=5,\\[4pt] 2c_{1}+5c_{2}=9. \end{cases}]

Passo 4

Vou resolver esse sistema pelo método da substituição (passo a passo, sem pular contas).
Da primeira equação isolamos c_{1}:
c_{1}=5-3c_{2}.
Substituímos esse c_{1} na segunda equação:
2(5-3c_{2})+5c_{2}=9.
Agora desenvolvemos os parênteses:
10-6c_{2}+5c_{2}=9.
Somamos os termos em c_{2}:
10 - c_{2} = 9.
Isolamos c_{2}:
- c_{2} = 9-10 = -1 \quad\Rightarrow\quad c_{2}=1.

Passo 5

Com c_{2}=1, voltamos à expressão que tínhamos para c_{1}:
c_{1}=5-3c_{2}=5-3\cdot 1=2.
Portanto os coeficientes são c_{1}=2 e c_{2}=1.

Passo 6

Fazer uma verificação rápida para não ter dúvida: calcular a combinação com esses coeficientes:
2(1,2)+1(3,5)=(2\cdot 1 + 1\cdot 3,\;2\cdot 2 + 1\cdot 5)=(2+3,\;4+5)=(5,9),
que é exatamente \mathbf{u}. Logo a representação está correta.

Passo 7

Comentário didático sobre unicidade (útil para provas): o sistema linear associado tem matriz de coeficientes
\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}.
O determinante é
\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}=1\cdot 5 - 3\cdot 2 =5-6=-1 \neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível e o sistema tem solução única; portanto, a combinação linear encontrada é a única possível.]

Resposta

\mathbf{u}=2(1,2)+1(3,5)

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