Questão (2(3 Pts)) Verifique se o vetor u pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto A em cada caso. Se sim, determine a combinação.
e
em
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e o conjunto
em
. A pergunta é: verificar se
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
e, se sim, determinar essa combinação (os coeficientes escalares).
Informações relevantes fornecidas:
- O vetor a representar:
. - Os vetores do conjunto
: e . - O que se pede: encontrar escalares
e tais que , ou mostrar que tal representação não existe.
Passo 2
Entendendo o que é escrever
como combinação linear: dizer que
é combinação linear de
e
significa encontrar escalares
e
(números reais) com
Aqui
e
são os coeficientes que multiplicam cada vetor; o resultado da soma deve ser o vetor
.
Passo 3
Converter a igualdade de vetores em um sistema de equações para as componentes. Escrevendo componente a componente:
Em forma de sistema:
Passo 4
Vou resolver esse sistema pelo método da substituição (passo a passo, sem pular contas).
Da primeira equação isolamos
:
Substituímos esse
na segunda equação:
Agora desenvolvemos os parênteses:
Somamos os termos em
:
Isolamos
:
Passo 5
Com
, voltamos à expressão que tínhamos para
:
Portanto os coeficientes são
e
.
Passo 6
Fazer uma verificação rápida para não ter dúvida: calcular a combinação com esses coeficientes:
que é exatamente
. Logo a representação está correta.
Passo 7
Comentário didático sobre unicidade (útil para provas): o sistema linear associado tem matriz de coeficientes
O determinante é
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível e o sistema tem solução única; portanto, a combinação linear encontrada é a única possível.]