Se possível, diagonalize a matriz A=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]. Se for diagonalizável, determine A^{10}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Diagonalizar a matriz A=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\[4pt] 2 & 1\end{array}\right], se isso for possível.
  • Se A for diagonalizável, calcular A^{10}.
Informações dadas:
  • A matriz A é a matriz 2\times2 com entradas a_{11}=1, a_{12}=-2, a_{21}=2, a_{22}=1.]

Passo 2

Vamos encontrar os autovalores de A (isso é obrigatório para diagonalizar). Para isso calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I).
\det\!\left(\begin{array}{cc} 1-\lambda & -2 \\[4pt] 2 & 1-\lambda \end{array}\right) =(1-\lambda)^2 - ( -2)(2) =(1-\lambda)^2 +4.
Expandindo:
(1-\lambda)^2+4=\lambda^2 -2\lambda +1 +4=\lambda^2 -2\lambda +5.
Os autovalores são raízes de \lambda^2 -2\lambda +5=0. Usando fórmula quadrática:
\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=1\pm 2i.
Observações importantes (didáticas):
  • Os autovalores são \lambda_1=1+2i e \lambda_2=1-2i.
  • Como os autovalores são complexos e distintos, a matriz A não possui autovalores reais — portanto não é diagonalizável sobre \mathbb{R} em uma matriz diagonal real.
  • Porém, porque os autovalores são distintos (mesmo sendo complexos), A é diagonalizável sobre \mathbb{C}: existem dois autovetores linearmente independentes complexos.]

Passo 3

Vamos achar autovetores complexos associados a cada autovalor. Para \lambda_1=1+2i resolvemos (A-\lambda_1 I)v=0.
A-\lambda_1 I= \begin{pmatrix} 1-(1+2i) & -2 \\[4pt] 2 & 1-(1+2i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2i & -2 \\[4pt] 2 & -2i \end{pmatrix}.
Da primeira linha -2i\,x -2\,y=0. Dividindo por -2: i x + y=0, logo y=-i x. Tomando x=1 obtemos o autovetor
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-i\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=1-2i o cálculo é conjugado, e obtemos de maneira análoga
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix}.
Verificação de independência linear:
  • v_2 não é múltiplo escalar de v_1 (eles são conjugados e distintos), então v_1 e v_2 são linearmente independentes em \mathbb{C}^2. Logo formam uma base de autovetores complexa e A é diagonalizável sobre \mathbb{C}.]

Passo 4

Agora montamos a diagonalização sobre \mathbb{C}. Colocamos os autovetores como colunas da matriz P e os autovalores na diagonal de D:
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -i & i \end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1+2i & 0 \\[4pt] 0 & 1-2i\end{pmatrix}.
Calculamos P^{-1} (vai ser útil e também mostra que P é invertível): o determinante de P é
\det P = 1\cdot i - 1\cdot(-i)=i+i=2i,
e a inversa para 2\times2 é
P^{-1}=\frac{1}{\det P}\begin{pmatrix}i & -1 \\[4pt] i & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{2i}\begin{pmatrix}i & -1 \\[4pt] i & 1\end{pmatrix}.
Podemos simplificar \dfrac{1}{2i}=-\dfrac{i}{2}, obtendo
P^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{i}{2} \\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{i}{2}\end{pmatrix}.
Portanto a diagonalização complexa fica
A = P\,D\,P^{-1}.
Comentário didático: isto mostra explicitamente que A é diagonalizável sobre \mathbb{C}. Não podemos escrever tal igualdade com P,D reais porque os autovalores e autovetores são complexos.]

Passo 5

Agora vamos calcular A^{10}. Método escolhido e justificativa:
  • Como A representa multiplicação pelo número complexo z=1+2i quando interpretamos vetores \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} como o complex x+iy, temos a relação conveniente: potências de A correspondem às potências de z. Assim A^{10} corresponde à multiplicação pelo complexo z^{10}.
  • Alternativamente poderíamos usar A^{10}=P D^{10} P^{-1}. Ambas as abordagens são equivalentes. Usarei a potência direta de z (é mais simples computacionalmente e dá a resposta real final).
Calculamos z^{10} por potências intermediárias (maneira mastigada):
z=1+2i.
z^2=(1+2i)^2=1+4i+4i^2=1+4i-4=-3+4i.
z^4=(z^2)^2=(-3+4i)^2=9-24i+16i^2=9-24i-16=-7-24i.
z^5 = z^4\cdot z =(-7-24i)(1+2i)=(-7-14i-24i-48i^2)=(-7-38i+48)=41-38i.
z^{10}=(z^5)^2=(41-38i)^2=41^2 -2\cdot41\cdot38 i + (38i)^2.
Calculando os termos:
41^2=1681,\qquad 2\cdot41\cdot38=3116,\qquad (38i)^2=-1444.
Logo
z^{10}=1681 -3116 i -1444 =237 -3116 i.

Passo 6

Converter z^{10} em matriz real: a correspondência complexa \,u+iv \mapsto \begin{pmatrix}u & -v\\[4pt] v & u\end{pmatrix}\, é exatamente a forma matricial usada para A. Assim, como z^{10}=237-3116i (ou u=237,\;v=-3116), a matriz correspondente é
A^{10}=\begin{pmatrix}237 & 3116 \\[4pt] -3116 & 237\end{pmatrix}.
Verificação rápida (consistência de norma): |z^{10}|=(|z|)^{10}=(\sqrt{5})^{10}=5^5=3125. De fato \sqrt{237^2+(-3116)^2}=\sqrt{9\,765\,625}=3125, consistente.]

Resposta

A não é diagonalizável sobre \mathbb{R}, mas é diagonalizável sobre \mathbb{C}: A = P\,D\,P^{-1},\quad P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -i & i\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1+2i & 0 \\[4pt] 0 & 1-2i\end{pmatrix}.
A^{10}=\begin{pmatrix}237 & 3116 \\[4pt] -3116 & 237\end{pmatrix}]

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