Os autovalores são \lambda_1=1+2i e \lambda_2=1-2i.
Como os autovalores são complexos e distintos, a matriz A não possui autovalores reais — portanto não é diagonalizável sobre \mathbb{R} em uma matriz diagonal real.
Porém, porque os autovalores são distintos (mesmo sendo complexos), A é diagonalizável sobre \mathbb{C}: existem dois autovetores linearmente independentes complexos.]
Passo 3
Vamos achar autovetores complexos associados a cada autovalor. Para \lambda_1=1+2i resolvemos (A-\lambda_1 I)v=0.
Da primeira linha -2i\,x -2\,y=0. Dividindo por -2: i x + y=0, logo y=-i x. Tomando x=1 obtemos o autovetor
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-i\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=1-2i o cálculo é conjugado, e obtemos de maneira análoga
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix}.
Verificação de independência linear:
v_2 não é múltiplo escalar de v_1 (eles são conjugados e distintos), então v_1 e v_2 são linearmente independentes em \mathbb{C}^2. Logo formam uma base de autovetores complexa e A é diagonalizável sobre \mathbb{C}.]
Passo 4
Agora montamos a diagonalização sobre \mathbb{C}. Colocamos os autovetores como colunas da matriz P e os autovalores na diagonal de D:
Comentário didático: isto mostra explicitamente que A é diagonalizável sobre \mathbb{C}. Não podemos escrever tal igualdade com P,D reais porque os autovalores e autovetores são complexos.]
Passo 5
Agora vamos calcular A^{10}. Método escolhido e justificativa:
Como A representa multiplicação pelo número complexo z=1+2i quando interpretamos vetores \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} como o complex x+iy, temos a relação conveniente: potências de A correspondem às potências de z. Assim A^{10} corresponde à multiplicação pelo complexo z^{10}.
Alternativamente poderíamos usar A^{10}=P D^{10} P^{-1}. Ambas as abordagens são equivalentes. Usarei a potência direta de z (é mais simples computacionalmente e dá a resposta real final).
Calculamos z^{10} por potências intermediárias (maneira mastigada):
Converter z^{10} em matriz real: a correspondência complexa \,u+iv \mapsto \begin{pmatrix}u & -v\\[4pt] v & u\end{pmatrix}\, é exatamente a forma matricial usada para A. Assim, como z^{10}=237-3116i (ou u=237,\;v=-3116), a matriz correspondente é
Verificação rápida (consistência de norma): |z^{10}|=(|z|)^{10}=(\sqrt{5})^{10}=5^5=3125. De fato \sqrt{237^2+(-3116)^2}=\sqrt{9\,765\,625}=3125, consistente.]
Resposta
A não é diagonalizável sobre \mathbb{R}, mas é diagonalizável sobre \mathbb{C}: A = P\,D\,P^{-1},\quad P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -i & i\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1+2i & 0 \\[4pt] 0 & 1-2i\end{pmatrix}.