A primeira linha dá x-2y=0\Rightarrow x=2y. Tomando y=1 obtemos um autovetor
v_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Observação didática rápida: autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes; aqui eles são até ortogonais (verificação: v_1\cdot v_2=1\cdot2+(-2)\cdot1=0), porque B é simétrica.]
Passo 4
Normalizamos os autovetores para formar uma base ortonormal (isso facilita a diagonalização como B=PDP^T).
Norma de v_1: \|v_1\|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}. Então
A matriz diagonal D com os autovalores na ordem correspondente é
D=\begin{pmatrix}9 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.
Então a diagonalização ortogonal é
B = P D P^T.
Breve explicação da ideia: para matriz diagonalizável B=PDP^{-1}. No caso simétrico real, pode-se escolher P ortogonal, então P^{-1}=P^T. Isso torna operações como potência muito simples porque B^k=P D^k P^T.]
Passo 5
Agora usamos a diagonalização para calcular B^{10}. Primeiro elevamos D à décima potência: