Se possível, diagonalize a matriz B=\left[\begin{array}{cc}5 & -2 \\\\ -2 & 8\end{array}\right]. Se for diagonalizável, determine B^{10}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Diagonalizar a matriz B=\left[\begin{array}{cc}5 & -2 \\\\ -2 & 8\end{array}\right], se ela for diagonalizável.
  • Se for diagonalizável, determinar B^{10}.
Informações dadas:
B=\begin{pmatrix}5 & -2\\[4pt]-2 & 8\end{pmatrix}.]

Passo 2

Vamos encontrar os autovalores (eigenvalues) de B. Para isso calculamos o polinômio característico \det(B-\lambda I)=0.
\det\!\left(\begin{pmatrix}5-\lambda & -2\\[4pt]-2 & 8-\lambda\end{pmatrix}\right) =(5-\lambda)(8-\lambda)-(-2)(-2).
Agora expandimos:
(5-\lambda)(8-\lambda)-4 = 40-13\lambda+\lambda^2-4=\lambda^2-13\lambda+36.
Resolvendo \lambda^2-13\lambda+36=0. O discriminante é
\Delta=13^2-4\cdot36=169-144=25,
logo \sqrt{\Delta}=5 e os autovalores são
\lambda=\frac{13\pm5}{2}\quad\Rightarrow\quad \lambda_1=9,\quad \lambda_2=4.
Como obtivemos dois autovalores reais distintos, B é diagonalizável (em \mathbb{R}).]

Passo 3

Agora encontramos os autovetores associados a cada autovalor.
Para \lambda_1=9 resolvemos (B-9I)v=0:
\begin{pmatrix}5-9 & -2\\[4pt]-2 & 8-9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4 & -2\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}.
A primeira linha dá -4x-2y=0\Rightarrow -2x-y=0\Rightarrow y=-2x. Tomando x=1 obtemos um autovetor
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=4 resolvemos (B-4I)v=0:
\begin{pmatrix}5-4 & -2\\[4pt]-2 & 8-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]-2 & 4\end{pmatrix}.
A primeira linha dá x-2y=0\Rightarrow x=2y. Tomando y=1 obtemos um autovetor
v_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Observação didática rápida: autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes; aqui eles são até ortogonais (verificação: v_1\cdot v_2=1\cdot2+(-2)\cdot1=0), porque B é simétrica.]

Passo 4

Normalizamos os autovetores para formar uma base ortonormal (isso facilita a diagonalização como B=PDP^T).
Norma de v_1: \|v_1\|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}. Então
u_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Norma de v_2: \|v_2\|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}. Então
u_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Como u_1 e u_2 são ortonormais, podemos tomar a matriz ortogonal P cujas colunas são u_1,u_2:
P=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}.
A matriz diagonal D com os autovalores na ordem correspondente é
D=\begin{pmatrix}9 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.
Então a diagonalização ortogonal é
B = P D P^T.
Breve explicação da ideia: para matriz diagonalizável B=PDP^{-1}. No caso simétrico real, pode-se escolher P ortogonal, então P^{-1}=P^T. Isso torna operações como potência muito simples porque B^k=P D^k P^T.]

Passo 5

Agora usamos a diagonalização para calcular B^{10}. Primeiro elevamos D à décima potência:
D^{10}=\begin{pmatrix}9^{10} & 0\\[4pt]0 & 4^{10}\end{pmatrix}.
Logo
B^{10}=P D^{10} P^T.
Uma forma muito prática de escrever B^{10} é usar as projeções u_i u_i^T. Como as colunas de P são u_1,u_2,
B^{10}=9^{10}\,u_1u_1^T+4^{10}\,u_2u_2^T.
Calculamos u_1u_1^T e u_2u_2^T:
u_1u_1^T=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -2\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]-2 & 4\end{pmatrix},
u_2u_2^T=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Somando ponderado pelos 9^{10} e 4^{10}:
B^{10}=\frac{1}{5}\Big(9^{10}\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]-2 & 4\end{pmatrix} +4^{10}\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}\Big).
Agora combinamos as entradas explicitamente para ficar bonito:
B^{10}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 9^{10}+4\cdot4^{10} & -2\cdot9^{10}+2\cdot4^{10}\\[6pt] -2\cdot9^{10}+2\cdot4^{10} & 4\cdot9^{10}+4^{10} \end{pmatrix}.
Podemos também escrever alguns fatores para simplificar a aparência:
B^{10}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 9^{10}+4^{11} & 2(4^{10}-9^{10})\\[6pt] 2(4^{10}-9^{10}) & 4\cdot9^{10}+4^{10} \end{pmatrix}.]

Resposta

B = P D P^T,\qquad P=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}9 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}
B^{10}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 9^{10}+4^{11} & 2\bigl(4^{10}-9^{10}\bigr)\\[6pt] 2\bigl(4^{10}-9^{10}\bigr) & 4\cdot9^{10}+4^{10} \end{pmatrix}]

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