Questão (2(3 Pts)) Verifique se o vetor u pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto A em cada caso. Se sim, determine a combinação. \mathbf{u}=(1,-3,1) e A=\{(1,0,2),(3,0,-1),(1,0,5)\}
Passo 1
O enunciado dá o vetor \mathbf{u}=(1,-3,1) e o conjunto
A=\{(1,0,2),(3,0,-1),(1,0,5)\}.
A tarefa é: verificar se existe uma combinação linear dos vetores de A que resulte em \mathbf{u} e, se existir, determinar os coeficientes dessa combinação.
O que significa “ser escrita como combinação linear”? Significa que existem escalares (números reais) x,y,z tais que
x\,(1,0,2)+y\,(3,0,-1)+z\,(1,0,5)=(1,-3,1).
Aqui x,y,z são os coeficientes que queremos encontrar, e a expressão acima é uma igualdade de vetores: cada componente à esquerda deve ser igual à componente correspondente à direita.
Passo 2
Vamos escrever as igualdades obtidas ao comparar componentes correspondentes (primeira, segunda e terceira componente). A soma dos vetores à esquerda tem componentes:
primeira componente: [x+3y+z),
segunda componente: 0x+0y+0z=0,
terceira componente: 2x - y +5z.
Portanto o sistema de equações que os coeficientes deveriam satisfazer é
\begin{cases} x+3y+z=1,\\[4pt] 0= -3,\\[4pt] 2x - y +5z=1. \end{cases}
Observe a segunda equação do sistema: \,0=-3\]. Essa igualdade é impossível (contradição), porque o lado esquerdo é sempre \(0 independentemente de x,y,z enquanto o lado direito é -3. Essa equação veio do fato de que todos os vetores em A têm segunda componente igual a 0, logo qualquer combinação linear deles terá sempre segunda componente 0. Mas \mathbf{u} tem segunda componente -3. Logo não há como ajustar coeficientes para fazer a segunda componente bater.]
Passo 3
Como o sistema contém uma equação impossível, não existem escalares x,y,z que satisfaçam simultaneamente todas as componentes da igualdade vetorial. Portanto não é possível escrever \mathbf{u} como combinação linear dos vetores de A.
Resposta
Não — \mathbf{u} não pode ser escrita como combinação linear dos vetores de A.