Questão 1. (PUC-RJ)
A senha de acesso a um jogo de computador consiste em quatro caracteres alfabéticos ou numéricos, sendo o primeiro necessariamente alfabético. O número de senhas possíveis será então:
a) 364 .
b) 10.36^{3}.
c) 26.36^{3}.
d) 264 .
e) 10.264.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A senha tem comprimento 4 (quatro caracteres).
  • Cada caractere pode ser alfabético ou numérico, com a restrição de que o primeiro caractere é necessariamente alfabético.
  • 26 letras do alfabeto e 10 dígitos numéricos.
    A pergunta é: quantas senhas diferentes podem ser formadas dadas essas condições?
Observação (assunção natural): o enunciado não proíbe repetir caracteres, portanto assumimos que repetições são permitidas.

Passo 2

Conceito que vamos usar (regra do produto): se um processo é composto de etapas sucessivas independentes e a primeira etapa pode ocorrer de a maneiras, a segunda de b maneiras, a terceira de c maneiras, etc., então o número total de resultados possíveis é a\cdot b\cdot c\cdots. Exemplo simples: se há 3 camisas e 2 calças, os conjuntos camisa+calça possíveis são 3\cdot2=6.

Passo 3

Contagem para a primeira posição: como o primeiro caractere deve ser alfabético, ele tem 26 opções. Escrevendo:
\text{opções da 1ª posição} = 26.çõªçã

Passo 4

Contagem para cada uma das posições 2, 3 e 4: nessas posições podem entrar letras ou dígitos. Então cada uma tem
\text{opções por posição} = 26 + 10 = 36.çõçã
Como as posições são independentes e repetições são permitidas, cada uma das três últimas posições oferece 36 escolhas.

Passo 5

Aplicando a regra do produto para as quatro posições:
\text{total} = 26 \cdot 36 \cdot 36 \cdot 36 = 26\cdot 36^{3}.

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo:
36^{2} = 36\cdot36 = 1296,
36^{3} = 1296\cdot36 = 46656,
26\cdot 46656 = 26\cdot(46000+656)=26\cdot46000+26\cdot656=1\,196\,000+17\,056=1\,213\,056.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, a que corresponde à expressão encontrada é a alternativa (c).

Resposta

c) 26\cdot36^{3}=1\,213\,056

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