4.50 provar: Os eventos S e ø são independentes.

Passo 1

O enunciado pede para provar que os eventos S e \varnothing são independentes. Vou listar claramente o que temos:
  • S é o espaço amostral (o conjunto de todos os resultados possíveis).
  • \varnothing é o evento vazio (evento impossível).
    O objetivo é mostrar, usando a definição de independência de eventos, que esses dois eventos satisfazem a condição necessária.

Passo 2

Definição de independência (fórmula que vou usar).
Dois eventos A e B são independentes se e somente se
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Vou usar exatamente essa igualdade para provar a independência de S e \varnothing.

Passo 3

Propriedades básicas da probabilidade que são necessárias (axiomas).
  • Normalização: P(S)=1. Isto vem do axioma que diz que a probabilidade do espaço amostral é 1.
  • Evento vazio tem probabilidade zero: P(\varnothing)=0. Uma forma simples de ver isso é usar a aditividade:
S = S \cup \varnothing \quad\text{e}\quad S\cap\varnothing=\varnothing,
logo, pela aditividade (ou pela propriedade P(S)=P(S)+P(\varnothing)), deduz-se que P(\varnothing)=0.

Passo 4

Calcular a interseção S\cap\varnothing.
Por definição de conjunto,
S\cap\varnothing=\varnothing,
pois não existem elementos que pertençam simultaneamente a S e ao conjunto vazio.

Passo 5

Calcular P(S\cap\varnothing) usando o passo anterior e a propriedade de P(\varnothing).
Como S\cap\varnothing=\varnothing, tem-se
P(S\cap\varnothing)=P(\varnothing)=0.

Passo 6

Calcular o produto P(S)\,P(\varnothing).
Usando P(S)=1 e P(\varnothing)=0,
P(S)\,P(\varnothing)=1\cdot 0=0.

Passo 7

Concluir a independência comparando os resultados.
Dos passos anteriores obtém-se
P(S\cap\varnothing)=0=P(S)\,P(\varnothing).
Pelo critério de independência (passo 2), isso mostra que S e \varnothing são independentes.

Resposta

S e \varnothing são independentes.

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