4.50 provar: Os eventos S e ø são independentes.
Passo 1
O enunciado pede para provar que os eventos
e
são independentes. Vou listar claramente o que temos:
-
é o espaço amostral (o conjunto de todos os resultados possíveis). -
é o evento vazio (evento impossível).
O objetivo é mostrar, usando a definição de independência de eventos, que esses dois eventos satisfazem a condição necessária.
Passo 2
Definição de independência (fórmula que vou usar).
Dois eventos e
são independentes se e somente se
Dois eventos
Vou usar exatamente essa igualdade para provar a independência de
e
.
Passo 3
Propriedades básicas da probabilidade que são necessárias (axiomas).
- Normalização:
. Isto vem do axioma que diz que a probabilidade do espaço amostral é . - Evento vazio tem probabilidade zero:
. Uma forma simples de ver isso é usar a aditividade:
logo, pela aditividade (ou pela propriedade
), deduz-se que
.
Passo 4
Calcular a interseção
.
Por definição de conjunto,
Por definição de conjunto,
pois não existem elementos que pertençam simultaneamente a
e ao conjunto vazio.
Passo 5
Calcular
usando o passo anterior e a propriedade de
.
Como , tem-se
Como
Passo 6
Calcular o produto
.
Usando e
,
Usando
Passo 7
Concluir a independência comparando os resultados.
Dos passos anteriores obtém-se
Dos passos anteriores obtém-se
Pelo critério de independência (passo 2), isso mostra que
e
são independentes.