Três cartas de baralho são retiradas de uma amostra com sete cartas. Não há reposição e a ordem não importa. Quantos são os resultados possíveis? Alternativas
a) 35 .
b) 70 .
c) 210 .
d) 342 .
е) 420 .
a) 35 .
b) 70 .
c) 210 .
d) 342 .
е) 420 .
Passo 1
O enunciado pede: escolher três cartas de uma amostra com sete cartas, sem reposição e sem considerar ordem. A pergunta é: quantos resultados possíveis existem?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Há
cartas no conjunto. - Retiram-se
cartas. - Não há reposição (cada carta só pode ser escolhida uma vez).
- A ordem das cartas não importa (o conjunto
é o mesmo que ).
Passo 2
Como a ordem não importa e não há reposição, cada resultado é um subconjunto de tamanho
das
cartas. Para contar quantos subconjuntos diferentes existem usamos a contagem de combinações (escolhas sem ordem). Vou explicar com calma por que isso vale.
Primeiro, uma definição útil: o fatorial. Para um inteiro positivo
,
Exemplos:
,
,
.
Agora, se a ordem importasse (sequências de cartas), o número de sequências sem reposição seria uma permutação de
tomadas
a
, dada por
Agora, se a ordem importasse (sequências de
Mas como a ordem não importa, cada conjunto de
cartas aparece várias vezes nas sequências: exatamente
vezes, porque as
cartas podem ser permutadas entre si de
maneiras. Por isso dividimos pelo fator
.
Passo 3
A fórmula geral para o número de escolhas de
elementos entre
sem ordem é o coeficiente binomial
Aqui
é o total de objetos disponíveis e
é o tamanho da seleção. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Expandindo
como
e cancelando
:
Passo 5
Continuando a simplificação passo a passo (sem pular contas):
Também dá para ver que
e
.
Passo 6
Comparando com as alternativas fornecidas, o valor obtido corresponde à alternativa
.
Resumo rápido para levar na prova: quando escolher sem reposição e sem ordem, use
. Aqui
,
e o resultado é
. Vai dar certo — respira, confia no processo e manda ver!
Resposta
a)