Três cartas de baralho são retiradas de uma amostra com sete cartas. Não há reposição e a ordem não importa. Quantos são os resultados possíveis? Alternativas
a) 35 .
b) 70 .
c) 210 .
d) 342 .
е) 420 .
\begin{aligned} & C_{7,3}=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7!}{3!\cdot 4} \\ & C_{73}=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4} \\ & C_{7,3}=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} \\ & C_{7,3}=7 \cdot 5=35 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede: escolher três cartas de uma amostra com sete cartas, sem reposição e sem considerar ordem. A pergunta é: quantos resultados possíveis existem?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • 7 cartas no conjunto.
  • Retiram-se 3 cartas.
  • Não há reposição (cada carta só pode ser escolhida uma vez).
  • A ordem das cartas não importa (o conjunto \{A,B,C\} é o mesmo que \{C,B,A\}).

Passo 2

Como a ordem não importa e não há reposição, cada resultado é um subconjunto de tamanho 3 das 7 cartas. Para contar quantos subconjuntos diferentes existem usamos a contagem de combinações (escolhas sem ordem). Vou explicar com calma por que isso vale.
Primeiro, uma definição útil: o fatorial. Para um inteiro positivo n,
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
Exemplos: 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6, 4! = 24, 7! = 5040.
Agora, se a ordem importasse (sequências de 3 cartas), o número de sequências sem reposição seria uma permutação de 7 tomadas 3 a 3, dada por
P(7,3)=7\cdot6\cdot5=\frac{7!}{(7-3)!}.
Mas como a ordem não importa, cada conjunto de 3 cartas aparece várias vezes nas sequências: exatamente 3! vezes, porque as 3 cartas podem ser permutadas entre si de 3!=6 maneiras. Por isso dividimos pelo fator 3!.

Passo 3

A fórmula geral para o número de escolhas de k elementos entre n sem ordem é o coeficiente binomial
C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui n é o total de objetos disponíveis e k é o tamanho da seleção. No nosso caso, n=7 e k=3.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
C(7,3)=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7!}{3!\cdot 4!}.
Expandindo 7! como 7\cdot6\cdot5\cdot4! e cancelando 4!:
C(7,3)=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{3\cdot2\cdot1\cdot4!}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}.

Passo 5

Continuando a simplificação passo a passo (sem pular contas):
\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=\frac{7\cdot6\cdot5}{6}=\;7\cdot5=35.
Também dá para ver que 7\cdot6\cdot5=210 e 210/6=35.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, o valor obtido corresponde à alternativa \text{a)}.
Resumo rápido para levar na prova: quando escolher sem reposição e sem ordem, use C(n,k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}. Aqui n=7, k=3 e o resultado é 35. Vai dar certo — respira, confia no processo e manda ver!

Resposta

a) 35

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