Questāo 3:
Considere que foi obtido via lei de Biot-Savart o seguinte campo magnético,
\overrightarrow{\mathrm{B}}=2 \pi \rho \hat{\rho} .
Considere também que esse vetor flui através de uma superfície caracterizada pelo seguinte elemento de área,
\overrightarrow{\mathrm{ds}}=\operatorname{ad} \rho \hat{\rho}+\mathrm{d} z \hat{z} .
Então o seu objetivo é encontrar o produto escalar \overrightarrow{\mathrm{B}} . \overrightarrow{\mathrm{ds}}. Nessas condições, considerando a uma constante, marque a alternativa correta em relação a esse produto escalar.
◯ 2apdp.
◯ πapdp.
◯ 2madp.
◯ 2πpdp
◯ 2πapdp.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o produto escalar entre dois vetores:
  • Campo magnético: \overrightarrow{\mathrm{B}} = 2\pi \rho \,\hat{\rho}.
  • Elemento de área: \overrightarrow{\mathrm{ds}} = a\,\mathrm{d}\rho\,\hat{\rho} + \mathrm{d}z\,\hat{z}.
  • A constante a é uma constante (indicada no enunciado).
  • Pergunta: calcular o produto escalar \overrightarrow{\mathrm{B}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ds}} e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Lembrando o que é produto escalar entre vetores em componentes: se \overrightarrow{u} = u_{\rho}\,\hat{\rho}+u_{z}\,\hat{z} e \overrightarrow{v}=v_{\rho}\,\hat{\rho}+v_{z}\,\hat{z}, então
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u_{\rho}v_{\rho}+u_{z}v_{z},
porque os vetores unitários são ortogonais e \hat{\rho}\cdot\hat{\rho}=1, \hat{z}\cdot\hat{z}=1, \hat{\rho}\cdot\hat{z}=0. Isso significa que para o produto escalar só multiplicamos as componentes correspondentes ao mesmo sentido e somamos.

Passo 3

Identificamos as componentes dos vetores dados:
  • Componente radial de \overrightarrow{\mathrm{B}}: B_{\rho}=2\pi \rho.
  • Componente axial (z) de \overrightarrow{\mathrm{B}}: B_{z}=0.
  • Componente radial de \overrightarrow{\mathrm{ds}}: (\mathrm{d}s)_{\rho}=a\,\mathrm{d}\rho.
  • Componente axial de \overrightarrow{\mathrm{ds}}: (\mathrm{d}s)_{z}=\mathrm{d}z.
Usando a fórmula do produto escalar por componentes:
\overrightarrow{\mathrm{B}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ds}}=B_{\rho}(\mathrm{d}s)_{\rho}+B_{z}(\mathrm{d}s)_{z}.

Passo 4

Substituindo as componentes:
\overrightarrow{\mathrm{B}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ds}}=(2\pi \rho)\,(a\,\mathrm{d}\rho)+0\cdot(\mathrm{d}z).
O termo com \mathrm{d}z some porque B_{z}=0. Logo
\overrightarrow{\mathrm{B}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ds}}=2\pi a\,\rho\,\mathrm{d}\rho.

Passo 5

Interpretação rápida: o produto escalar (fluxo infinitesimal de \overrightarrow{\mathrm{B}} através do elemento de área) é não nulo apenas pela componente radial do elemento de área, e fica proporcional a \rho\,\mathrm{d}\rho, à constante a e a 2\pi.

Resposta

2\pi a\,\rho\,\mathrm{d}\rho

Exercícios relacionados