Considere também que esse vetor flui através de uma superfície caracterizada pelo seguinte elemento de área,
\overrightarrow{\mathrm{ds}}=\operatorname{ad} \rho \hat{\rho}+\mathrm{d} z \hat{z} .
Então o seu objetivo é encontrar o produto escalar \overrightarrow{\mathrm{B}} . \overrightarrow{\mathrm{ds}}. Nessas condições, considerando a uma constante, marque a alternativa correta em relação a esse produto escalar.
◯ 2apdp.
◯ πapdp.
◯ 2madp.
◯ 2πpdp
◯ 2πapdp.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o produto escalar entre dois vetores:
Campo magnético: \overrightarrow{\mathrm{B}} = 2\pi \rho \,\hat{\rho}.
Elemento de área: \overrightarrow{\mathrm{ds}} = a\,\mathrm{d}\rho\,\hat{\rho} + \mathrm{d}z\,\hat{z}.
A constante a é uma constante (indicada no enunciado).
Pergunta: calcular o produto escalar \overrightarrow{\mathrm{B}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ds}} e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Lembrando o que é produto escalar entre vetores em componentes: se \overrightarrow{u} = u_{\rho}\,\hat{\rho}+u_{z}\,\hat{z} e \overrightarrow{v}=v_{\rho}\,\hat{\rho}+v_{z}\,\hat{z}, então
porque os vetores unitários são ortogonais e \hat{\rho}\cdot\hat{\rho}=1, \hat{z}\cdot\hat{z}=1, \hat{\rho}\cdot\hat{z}=0. Isso significa que para o produto escalar só multiplicamos as componentes correspondentes ao mesmo sentido e somamos.
Passo 3
Identificamos as componentes dos vetores dados:
Componente radial de \overrightarrow{\mathrm{B}}: B_{\rho}=2\pi \rho.
Componente axial (z) de \overrightarrow{\mathrm{B}}: B_{z}=0.
Componente radial de \overrightarrow{\mathrm{ds}}: (\mathrm{d}s)_{\rho}=a\,\mathrm{d}\rho.
Componente axial de \overrightarrow{\mathrm{ds}}: (\mathrm{d}s)_{z}=\mathrm{d}z.
Usando a fórmula do produto escalar por componentes:
Interpretação rápida: o produto escalar (fluxo infinitesimal de \overrightarrow{\mathrm{B}} através do elemento de área) é não nulo apenas pela componente radial do elemento de área, e fica proporcional a \rho\,\mathrm{d}\rho, à constante a e a 2\pi.