Questão [q10]. Calcule a massa do fio dado por
\gamma(t)=(t, t+1,3 t+1), 0 \leq t \leq 1,
cuja densidade linear é \delta(x, y, z)=x^{2}+2 y z.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada e a densidade linear do fio. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
  • Curva (parametrização): \gamma(t)=(t,\;t+1,\;3t+1) para 0\le t\le1.
  • Densidade linear (função de posição): \delta(x,y,z)=x^{2}+2yz.
  • Pedido: calcular a massa do fio, isto é, a integral da densidade ao longo da curva.

Passo 2

Qual fórmula usar para a massa de um fio com densidade linear? Aqui vai uma explicação didática e o porquê.
  • A massa total do fio é a integral da densidade por unidade de comprimento ao longo do fio. Se o fio está parametrizado por \gamma(t) com a\le t\le b, a massa M é
M=\int_{a}^{b}\delta\big(\gamma(t)\big)\,\mathrm{d}s,
onde \mathrm{d}s é o elemento de comprimento do fio.
  • Para uma parametrização \gamma(t), o elemento de arco \mathrm{d}s pode ser escrito em termos de t como
\mathrm{d}s=\big\|\gamma'(t)\big\|\,\mathrm{d}t,
onde \gamma'(t) é o vetor velocidade (derivada componente a componente) e \big\|\gamma'(t)\big\| é a sua norma (comprimento).
  • Portanto, a fórmula prática que vamos usar é
M=\int_{a}^{b}\delta\big(\gamma(t)\big)\,\big\|\gamma'(t)\big\|\,\mathrm{d}t.
Aqui: \delta(\gamma(t)) é a densidade avaliada no ponto da curva correspondente a t; \gamma'(t) é a derivada da parametrização; \big\|\gamma'(t)\big\| é a velocidade escalar, que transforma a integral em t para a integral sobre comprimento.

Passo 3

Calcular \gamma'(t) e sua norma.
  • Derivando componente a componente:
\gamma'(t)=\big(1,\;1,\;3\big).
  • Norma (comprimento) de \gamma'(t):
\big\|\gamma'(t)\big\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}.
Observação: a norma é constante, o que simplifica a integral.

Passo 4

Avaliar a densidade ao longo da curva: calcular \delta\big(\gamma(t)\big).
  • Substituindo x=t,\;y=t+1,\;z=3t+1 em \delta(x,y,z)=x^{2}+2yz, obtemos
\delta\big(\gamma(t)\big)=t^{2}+2\,(t+1)\,(3t+1).
  • Expandindo passo a passo:
(t+1)(3t+1)=3t^{2}+4t+1,
2\,(t+1)(3t+1)=6t^{2}+8t+2,
portanto
\delta\big(\gamma(t)\big)=t^{2}+(6t^{2}+8t+2)=7t^{2}+8t+2.

Passo 5

Montar e calcular a integral da massa usando a fórmula do Passo 2.
  • Substituindo em M=\int_{0}^{1}\delta(\gamma(t))\big\|\gamma'(t)\big\|\,\mathrm{d}t:
M=\int_{0}^{1}\big(7t^{2}+8t+2\big)\,\sqrt{11}\,\mathrm{d}t =\sqrt{11}\int_{0}^{1}\big(7t^{2}+8t+2\big)\,\mathrm{d}t.
  • Calcular a integral do polinômio (feito passo a passo):
\int_{0}^{1}7t^{2}\,\mathrm{d}t=7\cdot\frac{t^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}=\frac{7}{3},
\int_{0}^{1}8t\,\mathrm{d}t=8\cdot\frac{t^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}=4,
\int_{0}^{1}2\,\mathrm{d}t=2\cdot t\Big|_{0}^{1}=2.
  • Somando as partes:
\int_{0}^{1}\big(7t^{2}+8t+2\big)\,\mathrm{d}t=\frac{7}{3}+4+2=\frac{7}{3}+6=\frac{25}{3}.
  • Multiplicando pelo fator \sqrt{11}:
M=\sqrt{11}\cdot\frac{25}{3}=\frac{25\sqrt{11}}{3}.

Resposta

\dfrac{25\sqrt{11}}{3}

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