cuja densidade linear é \delta(x, y, z)=x^{2}+2 y z.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada e a densidade linear do fio. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
Curva (parametrização): \gamma(t)=(t,\;t+1,\;3t+1) para 0\le t\le1.
Densidade linear (função de posição): \delta(x,y,z)=x^{2}+2yz.
Pedido: calcular a massa do fio, isto é, a integral da densidade ao longo da curva.
Passo 2
Qual fórmula usar para a massa de um fio com densidade linear? Aqui vai uma explicação didática e o porquê.
A massa total do fio é a integral da densidade por unidade de comprimento ao longo do fio. Se o fio está parametrizado por \gamma(t) com a\le t\le b, a massa M é
Aqui: \delta(\gamma(t)) é a densidade avaliada no ponto da curva correspondente a t; \gamma'(t) é a derivada da parametrização; \big\|\gamma'(t)\big\| é a velocidade escalar, que transforma a integral em t para a integral sobre comprimento.