Questão [q8]. O que obtemos quando invertemos a ordem de integração na integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 x} f(x, y) d y d x ?

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 x} f(x, y)\, d y\, d x
e pede para inverter a ordem de integração. Ou seja, expressar a mesma integral com a integração em y (externa) acontecendo depois da integração em x (interna), mantendo o mesmo integrando f(x,y).
Informações relevantes fornecidas:
  • O intervalo de x é [0,1].
  • Para cada x fixo em [0,1], o intervalo de y é [0,2x].
  • A função integranda é f(x,y) (não são dadas mais propriedades, assumimos apenas que a integral original faz sentido — isto é, f é integrável na região em questão).
A pergunta é: qual é a expressão equivalente da integral quando trocamos a ordem de integração?

Passo 2

Interpretação geométrica da região de integração (passo essencial para inverter ordem).
A integral original integra sobre a região R do plano (x,y) definida por:
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\\\ 0\le y\le 2x\}.
Explicando devagar: para cada x entre 0 e 1, y varia de 0 até 2x. Assim o ponto (x,y) está abaixo da reta \,y=2x e acima do eixo y=0, com x limitado entre 0 e 1.

Passo 3

Encontrar o intervalo total de y na região R.
Para saber os limites externos quando integramos primeiro em x, projetamos R no eixo y. O menor valor de y em R é y=0. O maior valor de y ocorre quando x atinge o máximo 1, pois y\le 2x e x\le1, logo o máximo é y=2\cdot 1=2. Portanto
0\le y\le 2.

Passo 4

Para um y fixo no intervalo [0,2], determinar os valores possíveis de x.
Começamos da desigualdade que define a região: y\le 2x. Reescrevendo em termos de x,
x \ge \frac{y}{2}.
Também sabemos que x está entre 0 e 1. Como y\ge 0, temos \frac{y}{2}\ge 0, então a condição x\ge \frac{y}{2} já garante x\ge0. Além disso, devemos ter x\le 1. Assim, para um y fixo em [0,2], x varia entre
\frac{y}{2}\quad\text{(mínimo)}\qquad\text{e}\qquad 1\quad\text{(máximo)}.íá
Em outras palavras, a seção horizontal da região R para um dado y é o intervalo \left[\dfrac{y}{2},\,1\right].

Passo 5

Montar a integral com a ordem invertida.
Com as informações dos passos anteriores:
  • y varia de 0 a 2,
  • para cada y fixo, x varia de \dfrac{y}{2} a 1,
a integral com ordem invertida fica
\int_{0}^{2} \int_{y/2}^{1} f(x,y)\, d x\, d y.

Passo 6

Verificação rápida (checagem com um exemplo simples para ganhar confiança).
Escolhe-se f(x,y)=1. A integral original calcula a área de R:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2x} 1\, d y\, d x = \int_{0}^{1} (2x)\, d x = \left[ x^{2} \right]_{0}^{1} = 1.
Agora a integral invertida com f=1:
\int_{0}^{2} \int_{y/2}^{1} 1\, d x\, d y = \int_{0}^{2} \left(1-\frac{y}{2}\right) d y = \left[ y - \frac{y^{2}}{4} \right]_{0}^{2} = 2 - 1 = 1.
As duas dão o mesmo resultado, o que confirma que os limites estão corretos.

Resposta

\int_{0}^{2} \int_{y/2}^{1} f(x,y)\, d x\, d y

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