Questão [q8]. O que obtemos quando invertemos a ordem de integração na integral dupla
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
e pede para inverter a ordem de integração. Ou seja, expressar a mesma integral com a integração em
(externa) acontecendo depois da integração em
(interna), mantendo o mesmo integrando
.
Informações relevantes fornecidas:
- O intervalo de
é . - Para cada
fixo em , o intervalo de é . - A função integranda é
(não são dadas mais propriedades, assumimos apenas que a integral original faz sentido — isto é, é integrável na região em questão).
A pergunta é: qual é a expressão equivalente da integral quando trocamos a ordem de integração?
Passo 2
Interpretação geométrica da região de integração (passo essencial para inverter ordem).
A integral original integra sobre a região
do plano
definida por:
Explicando devagar: para cada
entre
e
,
varia de
até
. Assim o ponto
está abaixo da reta
e acima do eixo
, com
limitado entre
e
.
Passo 3
Encontrar o intervalo total de
na região
.
Para saber os limites externos quando integramos primeiro em
, projetamos
no eixo
. O menor valor de
em
é
. O maior valor de
ocorre quando
atinge o máximo
, pois
e
, logo o máximo é
. Portanto
Passo 4
Para um
fixo no intervalo
, determinar os valores possíveis de
.
Começamos da desigualdade que define a região:
. Reescrevendo em termos de
,
Também sabemos que
está entre
e
. Como
, temos
, então a condição
já garante
. Além disso, devemos ter
. Assim, para um
fixo em
,
varia entre
Em outras palavras, a seção horizontal da região
para um dado
é o intervalo
.
Passo 5
Montar a integral com a ordem invertida.
Com as informações dos passos anteriores:
-
varia de a , - para cada
fixo, varia de a ,
a integral com ordem invertida fica
Passo 6
Verificação rápida (checagem com um exemplo simples para ganhar confiança).
Escolhe-se
. A integral original calcula a área de
:
Agora a integral invertida com
:
As duas dão o mesmo resultado, o que confirma que os limites estão corretos.