Questão [q7]. Seja (u, v, w) um novo sistema de coordenadas para \mathbb{R}^{3} definido por
x=2 u \cos v, \quad y=3 u \sin v, \quad z=5 w
em que u \geq 0,0 \leq v \leq 2 \pi e w é um número real arbitrário. Calcule o jacobiano
J(u, v, w)=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}
Passo 1
O enunciado fornece uma mudança de coordenadas do espaço \mathbb{R}^3 dada por
x = 2u\cos v,\qquad y = 3u\sin v,\qquad z = 5w,
com \;u\ge 0,\;0\le v\le 2\pi,\;w\in\mathbb{R}.
A pergunta é: calcular o jacobiano
J(u,v,w)=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}.
Informações relevantes fornecidas:
As expressões explícitas de x,y,z em função de u,v,w (peguei isto do enunciado).
Domínio: u\ge 0,\;v entre 0 e 2\pi, w qualquer real (essas restrições podem ser úteis para sinal/valor do jacobiano, se for o caso).
Passo 2
O que é o jacobiano e como vamos calcular:
O jacobiano de uma transformação (u,v,w)\mapsto(x,y,z) é o determinante da matriz de derivadas parciais, isto é
Breve explicação das derivadas parciais: \dfrac{\partial x}{\partial u} é a taxa de variação de x quando u muda e v,w ficam fixos; e assim para as demais. Vamos calcular cada uma dessas derivadas e então o determinante.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de x,y,z diretamente (faço passo a passo, sem pular):
Para x=2u\cos v:\dfrac{\partial x}{\partial u}=2\cos v,\qquad \dfrac{\partial x}{\partial v}=-2u\sin v,\qquad \dfrac{\partial x}{\partial w}=0.Justificação: derivada em u trata \cos v como constante; derivada em v usa regra do produto e \dfrac{d}{dv}\cos v=-\sin v; em w não aparece w, então é zero.
Para y=3u\sin v:\dfrac{\partial y}{\partial u}=3\sin v,\qquad \dfrac{\partial y}{\partial v}=3u\cos v,\qquad \dfrac{\partial y}{\partial w}=0.Justificação análoga à do x.
Para z=5w:\dfrac{\partial z}{\partial u}=0,\qquad \dfrac{\partial z}{\partial v}=0,\qquad \dfrac{\partial z}{\partial w}=5.Porque z depende apenas de w de forma linear.
Passo 4
Montar a matriz jacobiana com as derivadas que calculamos:
Calcular o determinante da matriz. Observação: a terceira linha tem dois zeros e um 5 na terceira coluna, então é conveniente expandir por essa coluna (ou notar que se pode fatorar 5 como constante). Assim:
J(u,v,w)=\det\begin{pmatrix} 2\cos v & -2u\sin v & 0 \\[6pt] 3\sin v & 3u\cos v & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} =5\cdot\det\begin{pmatrix} 2\cos v & -2u\sin v \\[6pt] 3\sin v & 3u\cos v \end{pmatrix}.
Agora calculo o determinante 2\times2 explicitamente:
\det\begin{pmatrix} 2\cos v & -2u\sin v \\[6pt] 3\sin v & 3u\cos v \end{pmatrix} = (2\cos v)(3u\cos v) - (-2u\sin v)(3\sin v).