Questão [q5]. Uma casca ESFÉRICA com raio interno de 2 m e raio externo de 3 m é cheio de gás. A função de densidade de massa do gás (em quilograma por metro cúbico) é \rho(r)=1, em que r é a distância do centro, em metros. Qual é a massa total do gás em quilogramas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A casca esférica tem raio interno 2\\ \text{m} e raio externo 3\\ \text{m}.
  • A densidade de massa do gás é \rho(r)=1 (quilograma por metro cúbico), onde r é a distância ao centro (em metros).
O que o problema pede:
  • Calcular a massa total do gás, em quilogramas.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado com calma): a massa total de um fluido distribuído num volume V é a integral da densidade sobre esse volume:
\text{massa} = \int_{V} \rho(\mathbf{x})\,dV.
Aqui \rho(\mathbf{x}) é a densidade em cada ponto e dV é o elemento de volume (em metros cúbicos). No nosso caso a densidade depende apenas da distância r ao centro, \rho(r), e portanto a integral reduz-se a uma integral radial sobre a casca esférica entre r=2 e r=3.

Passo 3

Derivando o elemento de volume radial: pense num “anel esférico” muito fino, a uma distância r do centro, com espessura dr. A área da superfície de uma esfera de raio r é 4\pi r^{2}. Multiplicando essa área pela espessura dr obtemos o volume aproximado do anel:
dV \approx 4\pi r^{2}\,dr.
Esse é o elemento de volume exato em coordenadas esféricas para uma integração radial quando a densidade depende só de r. Aqui:
  • r é a variável radial (em metros),
  • dr é a variação infinitesimal de r,
  • 4\pi r^{2} é a área da esfera de raio r.
Um exemplo numérico mental: se r=2\\ \text{m} e dr=0{,}01\\ \text{m}, o volume do anel é aproximadamente 4\pi\cdot 2^{2}\cdot 0{,}01=4\pi\cdot4\cdot0{,}01=0{,}16\pi\\ \text{m}^{3}.

Passo 4

Agora montamos a integral da massa. Usando \text{massa}=\int_{V}\rho\,dV e dV=4\pi r^{2}\,dr, a massa total é
\text{massa}=\int_{r=2}^{3} \rho(r)\,4\pi r^{2}\,dr.
Como \rho(r)=1, substituindo:
\text{massa}=4\pi\int_{2}^{3} r^{2}\,dr.

Passo 5

Calculando a integral passo a passo. A primitiva de r^{2} é \dfrac{r^{3}}{3}. Portanto
\text{massa}=4\pi\left[\dfrac{r^{3}}{3}\right]_{2}^{3} =4\pi\left(\dfrac{3^{3}}{3}-\dfrac{2^{3}}{3}\right) =4\pi\left(\dfrac{27-8}{3}\right).
Fazendo as contas:
27-8=19,\qquad 4\cdot\dfrac{19}{3}=\dfrac{76}{3},
logo
\text{massa}=\dfrac{76\pi}{3}\\ \text{kg}.

Passo 6

Verificação (método alternativo, mais direto): como \rho=1 é constante, a massa é simplesmente o volume da casca. O volume da esfera de raio R é \dfrac{4}{3}\pi R^{3}. Então o volume da casca é
\Delta V=\dfrac{4}{3}\pi(3^{3}-2^{3})=\dfrac{4}{3}\pi(27-8)=\dfrac{76\pi}{3},
que, multiplicado por \rho=1, dá a mesma massa \dfrac{76\pi}{3}\\ \text{kg}. Portanto o resultado está coerente.

Resposta

\dfrac{76\pi}{3}\\ \text{kg}
\approx 79{,}577\\ \text{kg}

Exercícios relacionados