Questão [q5]. Uma casca ESFÉRICA com raio interno de
e raio externo de
é cheio de gás. A função de densidade de massa do gás (em quilograma por metro cúbico) é
, em que
é a distância do centro, em metros. Qual é a massa total do gás em quilogramas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A casca esférica tem raio interno
e raio externo . - A densidade de massa do gás é
(quilograma por metro cúbico), onde é a distância ao centro (em metros).
O que o problema pede:
- Calcular a massa total do gás, em quilogramas.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado com calma): a massa total de um fluido distribuído num volume
é a integral da densidade sobre esse volume:
Aqui
é a densidade em cada ponto e
é o elemento de volume (em metros cúbicos). No nosso caso a densidade depende apenas da distância
ao centro,
, e portanto a integral reduz-se a uma integral radial sobre a casca esférica entre
e
.
Passo 3
Derivando o elemento de volume radial: pense num “anel esférico” muito fino, a uma distância
do centro, com espessura
. A área da superfície de uma esfera de raio
é
. Multiplicando essa área pela espessura
obtemos o volume aproximado do anel:
Esse é o elemento de volume exato em coordenadas esféricas para uma integração radial quando a densidade depende só de
. Aqui:
-
é a variável radial (em metros), -
é a variação infinitesimal de , -
é a área da esfera de raio .
Um exemplo numérico mental: se
e
, o volume do anel é aproximadamente
.
Passo 4
Agora montamos a integral da massa. Usando
e
, a massa total é
Como
, substituindo:
Passo 5
Calculando a integral passo a passo. A primitiva de
é
. Portanto
Fazendo as contas:
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Passo 6
Verificação (método alternativo, mais direto): como
é constante, a massa é simplesmente o volume da casca. O volume da esfera de raio
é
. Então o volume da casca é
que, multiplicado por
, dá a mesma massa
. Portanto o resultado está coerente.