Calcule as derivadas das seguintes funções:
H(x)=\left(1+x^{4}\right)^{\frac{2}{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
H(x)=\left(1+x^{4}\right)^{\frac{2}{3}}.
Ou seja, a tarefa é encontrar H'(x), a taxa de variação de H em relação a x. As informações dadas são exatamente a expressão acima; não há parâmetros ocultos nem imagens.

Passo 2

Vamos lembrar a regra que vamos usar: a regra da cadeia combinada com a regra da potência.
A regra geral é: se
H(x)=[u(x)]^{n},
onde u(x) é uma função de x e n é um número real, então
H'(x)=n\,[u(x)]^{n-1}\,u'(x).
Explicando as partes:
  • u(x) é a “função interna” (a parte dentro do expoente).
  • n é o expoente (a “regra da potência” diz para multiplicar por n e diminuir o expoente em 1).
  • u'(x) é a derivada da função interna com respeito a x (por isso é a “cadeia”: deriva-se a externa e multiplica-se pela derivada da interna).

Passo 3

Identificamos a função interna u(x) e o expoente n:
u(x)=1+x^{4},\qquad n=\frac{2}{3}.
Agora calculamos u'(x). A derivada de 1 é 0 e, pela regra da potência, a derivada de x^{4} é 4x^{3}. Portanto
u'(x)=4x^{3}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da cadeia:
H'(x)=n\,[u(x)]^{n-1}\,u'(x).
Substituindo n=\dfrac{2}{3}, u(x)=1+x^{4} e u'(x)=4x^{3}, obtemos
H'(x)=\frac{2}{3}\,(1+x^{4})^{\frac{2}{3}-1}\cdot 4x^{3}.
Calculemos o expoente \dfrac{2}{3}-1=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{3}=-\dfrac{1}{3}. E multipliquemos as constantes \dfrac{2}{3}\cdot 4=\dfrac{8}{3}. Assim
H'(x)=\frac{8}{3}\,x^{3}\,(1+x^{4})^{-\frac{1}{3}}.

Passo 5

Podemos escrever a derivada de forma equivalente, colocando o expoente negativo como raiz cúbica no denominador:
H'(x)=\frac{8x^{3}}{3(1+x^{4})^{\frac{1}{3}}}=\frac{8x^{3}}{3\sqrt[3]{1+x^{4}}}.
Observação sobre domínio: como 1+x^{4}\ge 1>0 para todo x, não há problema de divisão por zero — a derivada existe para todo x\in\mathbb{R}.
Força aí — deu trabalho, mas o passo essencial é sempre: identificar a função interna e aplicar a regra da cadeia.

Resposta

\displaystyle H'(x)=\frac{8x^{3}}{3(1+x^{4})^{\frac{1}{3}}}

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