Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Ou seja, a tarefa é encontrar
, a taxa de variação de
em relação a
. As informações dadas são exatamente a expressão acima; não há parâmetros ocultos nem imagens.
Passo 2
Vamos lembrar a regra que vamos usar: a regra da cadeia combinada com a regra da potência.
A regra geral é: se
onde
é uma função de
e
é um número real, então
Explicando as partes:
-
é a “função interna” (a parte dentro do expoente). -
é o expoente (a “regra da potência” diz para multiplicar por e diminuir o expoente em ). -
é a derivada da função interna com respeito a (por isso é a “cadeia”: deriva-se a externa e multiplica-se pela derivada da interna).
Passo 3
Identificamos a função interna
e o expoente
:
Agora calculamos
. A derivada de
é
e, pela regra da potência, a derivada de
é
. Portanto
Passo 4
Aplicamos a fórmula da cadeia:
Substituindo
,
e
, obtemos
Calculemos o expoente
. E multipliquemos as constantes
. Assim
Passo 5
Podemos escrever a derivada de forma equivalente, colocando o expoente negativo como raiz cúbica no denominador:
Observação sobre domínio: como
para todo
, não há problema de divisão por zero — a derivada existe para todo
.
Força aí — deu trabalho, mas o passo essencial é sempre: identificar a função interna e aplicar a regra da cadeia.