Considere a equação
. Encontre a derivada segunda
por derivação implícita, e encontre o valor de
no ponto onde
.
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente por
e pede duas coisas:
- A expressão da segunda derivada
obtida por diferenciação implícita (ou seja, em termos de e ). - O valor numérico de
no ponto onde (usar o correspondente valor de que satisfaz a equação).
Informações relevantes fornecidas:
- A relação entre
e é . - Pressupõe-se que
é função de (ou seja, ) e que podemos diferenciar implicitamente.
Passo 2
Primeira etapa: encontrar
por diferenciação implícita. Lembre que, ao diferenciar uma expressão que contém
, aplica-se a regra da cadeia: se
então
.
Diferenciando ambos os lados de
em relação a
:
Aplicando as regras (derivada de
é
, derivada de
é
, derivada de constante é
):
Isolando
:
Passo 3
Agora vamos obter
. Uma forma direta é derivar a expressão que acabamos de achar:
Vou usar a regra do produto e a regra da cadeia. Escrevendo
, temos:
- derivada de
em relação a é ; - derivada de
em relação a é (pela cadeia: ).
Aplicando a regra do produto:
Simplificando sinais:
Passo 4
Substituir
na expressão acima:
Calcule o segundo termo:
Portanto
Passo 5
Colocar em denominar comum
para simplificar e usar a equação original:
Mas pela equação dada
. Substituindo:
Essa é a forma simplificada e muito conveniente da segunda derivada em termos de
e
.
Passo 6
Agora avaliar
no ponto onde
. Primeiro determinar
correspondente: colocando
na equação
obtemos
(considerando a solução real).
Substituindo em
com
e
: