Considere a equação x^{3}+y^{3}=1. Encontre a derivada segunda y^{\prime \prime} por derivação implícita, e encontre o valor de y^{\prime \prime} no ponto onde x=0.

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por x^{3}+y^{3}=1 e pede duas coisas:
  • A expressão da segunda derivada y^{\prime\prime} obtida por diferenciação implícita (ou seja, em termos de x e y).
  • O valor numérico de y^{\prime\prime} no ponto onde x=0 (usar o correspondente valor de y que satisfaz a equação).
Informações relevantes fornecidas:
  • A relação entre x e y é \;x^{3}+y^{3}=1.
  • Pressupõe-se que y é função de x (ou seja, y=y(x)) e que podemos diferenciar implicitamente.

Passo 2

Primeira etapa: encontrar y^{\prime} por diferenciação implícita. Lembre que, ao diferenciar uma expressão que contém y(x), aplica-se a regra da cadeia: se g(y)=y^{3} então \dfrac{d}{dx}g(y)=3y^{2}y^{\prime}.
Diferenciando ambos os lados de \;x^{3}+y^{3}=1 em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=\frac{d}{dx}(1).
Aplicando as regras (derivada de x^{3} é 3x^{2}, derivada de y^{3} é 3y^{2}y^{\prime}, derivada de constante é 0):
3x^{2}+3y^{2}y^{\prime}=0.
Isolando y^{\prime}:
3y^{2}y^{\prime}=-3x^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{\prime}=-\dfrac{x^{2}}{y^{2}}.

Passo 3

Agora vamos obter y^{\prime\prime}. Uma forma direta é derivar a expressão que acabamos de achar:
y^{\prime}=-x^{2}y^{-2}.
Vou usar a regra do produto e a regra da cadeia. Escrevendo y^{\prime}=(-x^{2})\cdot y^{-2}, temos:
  • derivada de (-x^{2}) em relação a x é -2x;
  • derivada de y^{-2} em relação a x é -2y^{-3}y^{\prime} (pela cadeia: \dfrac{d}{dx}y^{-2}=-2y^{-3}\cdot y^{\prime}).
Aplicando a regra do produto:
y^{\prime\prime} = (-2x)\,y^{-2} + (-x^{2})\bigl(-2y^{-3}y^{\prime}\bigr).
Simplificando sinais:
y^{\prime\prime} = -2x\,y^{-2} + 2x^{2}y^{-3}y^{\prime}.

Passo 4

Substituir y^{\prime}=-x^{2}y^{-2} na expressão acima:
y^{\prime\prime} = -2x\,y^{-2} + 2x^{2}y^{-3}\bigl(-x^{2}y^{-2}\bigr).
Calcule o segundo termo:
2x^{2}y^{-3}\bigl(-x^{2}y^{-2}\bigr) = -2x^{4}y^{-5}.
Portanto
y^{\prime\prime} = -2x\,y^{-2} - 2x^{4}y^{-5}.

Passo 5

Colocar em denominar comum y^{5} para simplificar e usar a equação original:
y^{\prime\prime} = \frac{-2x y^{3} - 2x^{4}}{y^{5}} = -2x\frac{y^{3}+x^{3}}{y^{5}}.
Mas pela equação dada \;x^{3}+y^{3}=1. Substituindo:
y^{\prime\prime} = -2x\frac{1}{y^{5}} = -\dfrac{2x}{y^{5}}.
Essa é a forma simplificada e muito conveniente da segunda derivada em termos de x e y.

Passo 6

Agora avaliar y^{\prime\prime} no ponto onde x=0. Primeiro determinar y correspondente: colocando x=0 na equação \;x^{3}+y^{3}=1 obtemos
y^{3}=1\quad\Rightarrow\quad y=1
(considerando a solução real).
Substituindo em \;y^{\prime\prime}=-\dfrac{2x}{y^{5}} com x=0 e y=1:
y^{\prime\prime}\big|_{x=0} = -\dfrac{2\cdot 0}{1^{5}} = 0.

Resposta

\displaystyle y^{\prime\prime}=-\dfrac{2x}{y^{5}}
\displaystyle y^{\prime\prime}\big|_{x=0}=0

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