Questão 3: Quadratura de Gauss-Chebyshev - Resolução

Enunciado: Use uma fórmula de quadratura adequada para calcular o valor aproximado (com 4 dígitos significativos) da integral
I=\int_{-1}^{1} \frac{(x-k)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x
onde k é o dígito ( 0 a 9 ) mais à direita do RA do aluno.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, por uma fórmula de quadratura adequada, o valor aproximado (com 4 dígitos significativos) da integral
I=\int_{-1}^{1}\frac{(x-k)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx,
onde k é o dígito mais à direita do RA (ou seja, k\in\{0,1,\dots,9\}).
Informações importantes dadas no enunciado:
\text{integração em }[-1,1],\qquad \text{peso }w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad \text{integrando }(x-k)^{2}.çã
A tarefa é usar uma quadratura apropriada para obter o valor com precisão indicada.

Passo 2

Apresentação da quadratura de Gauss-Chebyshev (didática):
Para integrais da forma
\int_{-1}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx
a quadratura de Gauss-Chebyshev de primeira espécie aproxima por
\int_{-1}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx \approx \frac{\pi}{n}\sum_{j=1}^{n} f(x_j),
onde os nós são
x_j=\cos\!\left(\frac{2j-1}{2n}\pi\right),\qquad j=1,\dots,n,
e todos os pesos são iguais a \pi/n.
Explicação curta do porquê: a mudança x=\cos\theta transforma a integral com o peso 1/\sqrt{1-x^2} numa integral em \theta sem esse peso, e a fórmula acima é a versão de Gauss (com nós \cos de angulações uniformes) adaptada ao peso de Chebyshev. Uma propriedade importante que usamos: a quadratura de Gauss-Chebyshev com n nós é exata para qualquer polinômio f(x) de grau até 2n-1.

Passo 3

Análise do integrando e escolha de n:
O integrando, visto como f(x)=(x-k)^{2}, é um polinômio de grau 2. Para que a quadratura seja exata basta escolher n tal que 2n-1\ge 2. Isso dá n\ge 2. Portanto a escolha mínima que garante exatidão (logo precisão maior que quatro algarismos significativos) é
n=2.
Escolhemos n=2 porque assim a quadratura integra exatamente qualquer polinômio de grau até 3, incluindo o grau 2 do nosso f(x). Resultado: a aproximação será, na verdade, o valor exato da integral.

Passo 4

Cálculo dos nós e pesos para n=2:
Usando a fórmula dos nós,
x_1=\cos\!\left(\frac{2\cdot1-1}{4}\pi\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},
x_2=\cos\!\left(\frac{2\cdot2-1}{4}\pi\right)=\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Os pesos são iguais:
w_1=w_2=\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Aplicação da fórmula e contas passo-a-passo:
Defina f(x)=(x-k)^{2}. A aproximação (aqui exata) é
I \approx \frac{\pi}{2}\bigl(f(x_1)+f(x_2)\bigr).
Vamos expandir:
f(x)=x^{2}-2kx+k^{2}.
Portanto
f(x_1)+f(x_2)=\bigl(x_1^{2}-2k x_1+k^{2}\bigr)+\bigl(x_2^{2}-2k x_2+k^{2}\bigr).
Como x_2=-x_1, os termos lineares se cancelam:
-2k x_1 -2k x_2 = -2k(x_1+x_2)= -2k(0)=0.
Sobra
f(x_1)+f(x_2)=x_1^{2}+x_2^{2}+2k^{2}.
Mas x_1^{2}=x_2^{2}=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{2}. Assim
f(x_1)+f(x_2)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+2k^{2}=1+2k^{2}.
Logo
I = \frac{\pi}{2}\,(1+2k^{2})=\pi\!\left(k^{2}+\tfrac{1}{2}\right).
Observação extra (checagem rápida por substituição trigonométrica): fazendo x=\cos\theta obtém-se
I=\int_{0}^{\pi}(\cos\theta-k)^{2}\,d\theta=\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta -2k\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta + k^{2}\pi
e calculando as integrais dá \pi/2 + 0 + k^{2}\pi=\pi(k^{2}+1/2), confirmando o resultado.

Passo 6

Conclusão sobre a precisão:
A quadratura de Gauss-Chebyshev com n=2 integra exatamente o polinômio f(x)=(x-k)^{2}, portanto o valor obtido é exato. Para apresentar a resposta na forma aproximada com quatro dígitos significativos basta arredondar o fator \pi ou o produto final; uma forma prática é usar \pi\approx 3,142 (quatro algarismos significativos) se quiser o valor numérico imediatamente.

Resposta

I=\pi\left(k^{2}+\tfrac{1}{2}\right)
I\approx 3,142\,(k^{2}+0,5)

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