Questão 3: Quadratura de Gauss-Chebyshev - Resolução
Enunciado: Use uma fórmula de quadratura adequada para calcular o valor aproximado (com 4 dígitos significativos) da integral
onde
é o dígito ( 0 a 9 ) mais à direita do RA do aluno.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, por uma fórmula de quadratura adequada, o valor aproximado (com 4 dígitos significativos) da integral
onde
é o dígito mais à direita do RA (ou seja,
).
Informações importantes dadas no enunciado:
Informações importantes dadas no enunciado:
A tarefa é usar uma quadratura apropriada para obter o valor com precisão indicada.
Passo 2
Apresentação da quadratura de Gauss-Chebyshev (didática):
Para integrais da forma
Para integrais da forma
a quadratura de Gauss-Chebyshev de primeira espécie aproxima por
onde os nós são
e todos os pesos são iguais a
.
Explicação curta do porquê: a mudança transforma a integral com o peso
numa integral em
sem esse peso, e a fórmula acima é a versão de Gauss (com nós
de angulações uniformes) adaptada ao peso de Chebyshev. Uma propriedade importante que usamos: a quadratura de Gauss-Chebyshev com
nós é exata para qualquer polinômio
de grau até
.
Explicação curta do porquê: a mudança
Passo 3
Análise do integrando e escolha de
:
O integrando, visto como , é um polinômio de grau
. Para que a quadratura seja exata basta escolher
tal que
. Isso dá
. Portanto a escolha mínima que garante exatidão (logo precisão maior que quatro algarismos significativos) é
O integrando, visto como
Escolhemos
porque assim a quadratura integra exatamente qualquer polinômio de grau até
, incluindo o grau
do nosso
. Resultado: a aproximação será, na verdade, o valor exato da integral.
Passo 4
Cálculo dos nós e pesos para
:
Usando a fórmula dos nós,
Usando a fórmula dos nós,
Os pesos são iguais:
Passo 5
Aplicação da fórmula e contas passo-a-passo:
Defina . A aproximação (aqui exata) é
Defina
Vamos expandir:
Portanto
Como
, os termos lineares se cancelam:
Sobra
Mas
. Assim
Logo
Observação extra (checagem rápida por substituição trigonométrica): fazendo
obtém-se
e calculando as integrais dá
, confirmando o resultado.
Passo 6
Conclusão sobre a precisão:
A quadratura de Gauss-Chebyshev com integra exatamente o polinômio
, portanto o valor obtido é exato. Para apresentar a resposta na forma aproximada com quatro dígitos significativos basta arredondar o fator
ou o produto final; uma forma prática é usar
(quatro algarismos significativos) se quiser o valor numérico imediatamente.
A quadratura de Gauss-Chebyshev com