Questão 2: Aproximação por Mínimos Quadrados com Polinômios de Legendre (20 pontos)

Considere a função f(x)=e^{x}. Desejamos aproximá-la no intervalo [-1,1] por um polinômio de grau até 2 , usando a base formada pelos polinômios de Legendre:
P_{0}(x)=1, \quad P_{1}(x)=x, \quad P_{2}(x)=\frac{1}{2}\left(3 x^{2}-1\right)
Determine constantes a, b e c tais que a função
y(x)=a P_{0}(x)+b P_{1}(x)+c P_{2}(x)
minimize a norma \|f-y\| no sentido do produto interno
\langle g, h\rangle=\int_{-1}^{1} g(x) h(x) d x
Em seguida, forneça uma aproximação numérica para o valor de y(0.5).

Passo 1

O enunciado pede que aproximemos f(x)=e^{x} no intervalo [-1,1] por um polinômio
y(x)=a P_{0}(x)+b P_{1}(x)+c P_{2}(x)
usando a base de polinômios de Legendre fornecida:
P_{0}(x)=1,\qquad P_{1}(x)=x,\qquad P_{2}(x)=\frac{1}{2}\bigl(3x^{2}-1\bigr).
O produto interno é
\langle g,h\rangle=\int_{-1}^{1} g(x)\,h(x)\,dx.
As tarefas são:
  1. determinar as constantes a, b e c que minimizam \|f-y\| segundo esse produto interno;
  2. fornecer uma aproximação numérica de y(0{,}5).
Informações dadas relevantes: a função f(x)=e^{x}, o intervalo [-1,1], os três polinômios P_{0},P_{1},P_{2} e a definição do produto interno.

Passo 2

Ideia teórica (explicada devagar): quando a base \{P_{0},P_{1},P_{2}\} é ortogonal para o produto interno dado, a melhor aproximação de f na subespaço gerado por essa base é obtida projetando f em cada polinômio da base. Ou seja, os coeficientes são as projeções de f sobre cada base. Formalmente, para cada índice n vale
\text{coeficiente }=\frac{\langle f,P_{n}\rangle}{\langle P_{n},P_{n}\rangle}.
No caso dos polinômios de Legendre padrão em [-1,1] existe uma propriedade conhecida e útil:
\int_{-1}^{1} P_{n}(x)\,P_{m}(x)\,dx=0\quad (n\ne m)
e
\int_{-1}^{1} P_{n}(x)^{2}\,dx=\frac{2}{2n+1}.
Portanto, basta calcular as integrais \langle f,P_{0}\rangle,\;\langle f,P_{1}\rangle,\;\langle f,P_{2}\rangle e dividir cada uma pela norma correspondente \langle P_{n},P_{n}\rangle.

Passo 3

Cálculo de a=\dfrac{\langle f,P_{0}\rangle}{\langle P_{0},P_{0}\rangle}.
Primeiro a integral
\langle f,P_{0}\rangle=\int_{-1}^{1} e^{x}\cdot 1\,dx=\int_{-1}^{1} e^{x}\,dx.
Integrando e^{x} obtemos \int e^{x}dx=e^{x}. Avaliando em -1 e 1:
\int_{-1}^{1} e^{x}\,dx=e^{1}-e^{-1}=e-e^{-1}.
A norma de P_{0} é \langle P_{0},P_{0}\rangle=\dfrac{2}{2\cdot 0+1}=2.
Logo
a=\frac{e-e^{-1}}{2}.

Passo 4

Cálculo de b=\dfrac{\langle f,P_{1}\rangle}{\langle P_{1},P_{1}\rangle}.
Primeiro a integral
\langle f,P_{1}\rangle=\int_{-1}^{1} e^{x}\,x\,dx.
Para \int x e^{x}dx usamos integração por partes. Tome u=x e dv=e^{x}dx. Então du=dx e v=e^{x}. Assim
\int x e^{x}dx = x e^{x}-\int e^{x}dx = e^{x}(x-1)+C.
Avaliando de -1 a 1:
\int_{-1}^{1} x e^{x}dx = e^{1}(1-1)-e^{-1}(-1-1)=0-(-2e^{-1})=2e^{-1}=\frac{2}{e}.
A norma de P_{1} é \langle P_{1},P_{1}\rangle=\dfrac{2}{2\cdot 1+1}=\dfrac{2}{3}.
Portanto
b=\frac{\frac{2}{e}}{\frac{2}{3}}=\frac{2}{e}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{e}.

Passo 5

Cálculo de c=\dfrac{\langle f,P_{2}\rangle}{\langle P_{2},P_{2}\rangle}.
Temos
P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1),
logo
\langle f,P_{2}\rangle=\int_{-1}^{1} e^{x}\cdot\frac{1}{2}(3x^{2}-1)\,dx=\frac{1}{2}\Bigl(3\int_{-1}^{1} x^{2}e^{x}dx - \int_{-1}^{1} e^{x}dx\Bigr).
Já sabemos \int_{-1}^{1} e^{x}dx=e-e^{-1}. Faltava \int_{-1}^{1} x^{2}e^{x}dx.
Calcule \int x^{2}e^{x}dx por partes: tome u=x^{2}, dv=e^{x}dx. Então du=2x\,dx, v=e^{x}. Assim
\int x^{2}e^{x}dx = x^{2}e^{x}-2\int x e^{x}dx.
Já usamos \int x e^{x}dx=e^{x}(x-1). Então
\int x^{2}e^{x}dx = x^{2}e^{x}-2e^{x}(x-1)=e^{x}(x^{2}-2x+2)+C.
Avaliando de -1 a 1:
\int_{-1}^{1} x^{2}e^{x}dx = e^{1}(1-2+2)-e^{-1}(1+2+2)=e - 5e^{-1}=e-\frac{5}{e}.
Substituindo em \langle f,P_{2}\rangle:
\langle f,P_{2}\rangle=\frac{1}{2}\Bigl(3\bigl(e-\tfrac{5}{e}\bigr)-\bigl(e-\tfrac{1}{e}\bigr)\Bigr) =\frac{1}{2}\bigl(2e-\tfrac{14}{e}\bigr)=e-\frac{7}{e}.
A norma de P_{2} é \langle P_{2},P_{2}\rangle=\dfrac{2}{2\cdot 2+1}=\dfrac{2}{5}.
Logo
c=\frac{e-\tfrac{7}{e}}{\tfrac{2}{5}}=\frac{5}{2}\Bigl(e-\frac{7}{e}\Bigr).

Passo 6

Resumo simbólico dos coeficientes (já obtidos):
a=\frac{e-e^{-1}}{2},\qquad b=\frac{3}{e},\qquad c=\frac{5}{2}\Bigl(e-\frac{7}{e}\Bigr).
Agora vamos avaliar numericamente y(0{,}5). Primeiro os valores dos polinômios em x=0{,}5:
P_{0}(0{,}5)=1,\qquad P_{1}(0{,}5)=0{,}5,\qquad P_{2}(0{,}5)=\frac{1}{2}\bigl(3(0{,}5)^{2}-1\bigr)=\frac{1}{2}(3\cdot 0{,}25-1)=\frac{1}{2}(-0{,}25)=-0{,}125.
Usando e\approx 2{,}718281828459045 (aproximação),
a\approx\frac{2{,}718281828459045-0{,}36787944117144233}{2}\approx 1{,}1752011936438015,
b\approx\frac{3}{2{,}718281828459045}\approx 1{,}103638323514327,
c\approx\frac{5}{2}\biggl(2{,}718281828459045-\frac{7}{2{,}718281828459045}\biggr)\approx 0{,}35781435064737175.
Finalmente
y(0{,}5)=a\cdot 1 + b\cdot 0{,}5 + c\cdot(-0{,}125)
y(0{,}5)\approx 1{,}1752011936438015 + 0{,}5\cdot 1{,}103638323514327 -0{,}125\cdot 0{,}35781435064737175
y(0{,}5)\approx 1{,}1752011936438015 + 0{,}5518191617571635 - 0{,}04472679383092147
y(0{,}5)\approx 1{,}6822935615700436.

Resposta

a=\dfrac{e-e^{-1}}{2}
b=\dfrac{3}{e}
c=\dfrac{5}{2}\!\left(e-\dfrac{7}{e}\right)
y(0{,}5)\approx 1{,}6822935615700436

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