Questão 2: Aproximação por Mínimos Quadrados com Polinômios de Legendre (20 pontos)
Considere a função
. Desejamos aproximá-la no intervalo
por um polinômio de grau até 2 , usando a base formada pelos polinômios de Legendre:
Determine constantes
e
tais que a função
minimize a norma
no sentido do produto interno
Em seguida, forneça uma aproximação numérica para o valor de
.
Passo 1
O enunciado pede que aproximemos
no intervalo
por um polinômio
usando a base de polinômios de Legendre fornecida:
O produto interno é
As tarefas são:
- determinar as constantes
, e que minimizam segundo esse produto interno; - fornecer uma aproximação numérica de
.
Informações dadas relevantes: a função
, o intervalo
, os três polinômios
e a definição do produto interno.
Passo 2
Ideia teórica (explicada devagar): quando a base
é ortogonal para o produto interno dado, a melhor aproximação de
na subespaço gerado por essa base é obtida projetando
em cada polinômio da base. Ou seja, os coeficientes são as projeções de
sobre cada base. Formalmente, para cada índice
vale
No caso dos polinômios de Legendre padrão em
existe uma propriedade conhecida e útil:
e
Portanto, basta calcular as integrais
e dividir cada uma pela norma correspondente
.
Passo 3
Cálculo de
.
Primeiro a integral
Integrando
obtemos
. Avaliando em
e
:
A norma de
é
.
Logo
Passo 4
Cálculo de
.
Primeiro a integral
Para
usamos integração por partes. Tome
e
. Então
e
. Assim
Avaliando de
a
:
A norma de
é
.
Portanto
Passo 5
Cálculo de
.
Temos
logo
Já sabemos
. Faltava
.
Calcule
por partes: tome
,
. Então
,
. Assim
Já usamos
. Então
Avaliando de
a
:
Substituindo em
:
A norma de
é
.
Logo
Passo 6
Resumo simbólico dos coeficientes (já obtidos):
Agora vamos avaliar numericamente
. Primeiro os valores dos polinômios em
:
Usando
(aproximação),
Finalmente