Questão 5: A Equação de Ricatti (20 pontos)
Dada a equação de Ricatti
, use o método de Euler Implícito com
para aproximar a solução no intervalo
. Adote
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de Riccati
com condição inicial
Pede-se usar o método de Euler Implícito (backward Euler) com passo
para aproximar a solução no intervalo
. Foi ainda fornecido um critério de tolerância
.\n
As perguntas claras que vamos responder são:
As perguntas claras que vamos responder são:
Todas as informações relevantes (função do lado direito, condição inicial, passo
e intervalo) estão listadas acima. No Passo 2 começamos a resolver.
Passo 2
Vou explicar o método de Euler Implícito (backward Euler) de forma didática. Dado um passo de malha
e pontos
com aproximações
, o esquema backward Euler é
onde
no nosso caso. Aqui
aparece dos dois lados: isso gera uma equação não linear em
que precisa ser resolvida em cada passo. Uma forma de proceder é transformar essa equação não linear numa equação algébrica explícita (quando possível) ou usar iteração (por exemplo Newton ou ponto fixo). Vou mostrar que, para nossa
, a equação em cada passo é um polinômio quadrático em
, que pode ser resolvido analiticamente com a fórmula da raiz quadrada — isso evita iterações e o uso do
. Explico por que isso é válido e como escolher a raiz correta.
Passo 3
Derivação da equação algébrica para
. Substituindo
no esquema:
Reorganizando em termos de
,
Multiplicando por
e escrevendo de forma padrão:
Isto é um polinômio quadrático em
da forma
com
,
e
. Como
(aqui
), aplicamos a fórmula quadrática
Explico: o discriminante
deve ser não negativo para obter raízes reais; assumimos que a questão está formulada de modo que as raízes relevantes sejam reais. Para escolher o sinal
usamos a ideia física/numerical: para
espera-se
, então escolhemos a raiz que é contínua com
quando
é pequeno (vai dar a raiz mais próxima de
).
Passo 4
Aplicação no primeiro passo: cálculo de
(aproximação em
). Temos
,
,
. A constante
fica
onde
. A equação quadrática é então
Multiplicando por
(para simplificar os coeficientes):
O discriminante desta quadrática é
Substituindo
(isto veio do enunciado) obtemos
portanto
Assim a solução para
é
Agora, qual sinal escolher? Para
pequeno,
deve ficar perto de
. Se tomarmos a raiz com o sinal
(i.e.
) normalmente obtemos um valor grande (próximo de
), distante de
. A raiz com sinal
(i.e.
) é a que tende a ser próxima de
para passos pequenos. Portanto escolhemos
Observação: essa escolha pode ser confirmada testando um valor numérico de
(por exemplo
dá
, e a raiz com sinal
dá um
próximo de
, enquanto a outra raiz é muito maior).
Passo 5
Aplicação no segundo passo: cálculo de
(aproximação em
). Agora
,
, e novamente
. A constante
na quadrática fica
A equação quadrática para
é
ou, multiplicando por
,
O discriminante é
Agora substituímos a expressão que encontramos para
. Como
temos
Logo
Portanto as duas raízes para
são
Novamente escolhemos a raiz que fica próxima de
(a com sinal
), logo
Passo 6
Comentário sobre o uso de
e por que não foi necessário iterar: o enunciado forneceu um
que normalmente serviria para parar um método iterativo (por ex. Newton ou iteração de ponto fixo) ao resolver a equação implícita em cada passo. Porém, como aqui a equação implícita transforma-se num quadrático exato em
, resolvê-la analiticamente com a fórmula de Bhaskara nos dá a solução numérica exata daquele passo (dentro da aritmética de ponto flutuante). Assim dispensamos a iteração e o critério de tolerância — a solução é dada explicitamente pelas fórmulas obtidas nos passos anteriores. Se o exercício exigisse especificamente o uso de uma iteração, aí sim aplicaríamos, por exemplo, iteração de ponto fixo
com
e pararíamos quando
. Mas a resolução algébrica é mais simples e rigorosa neste caso.