Questão 6.2. Quantos divisores distintos o número 1200 possui? Dica: 1200=2^{4} 3^{1} 5^{2}.

Passo 1

O enunciado pergunta quantos divisores distintos o número 1200 possui. A informação dada (peguei da dica) é a fatoração prima:
1200 = 2^{4}\,3^{1}\,5^{2}.
O que se pede: calcular a quantidade total de divisores positivos distintos de 1200.

Passo 2

Idea-chave (fórmula que vou usar) — contagem de divisores a partir da fatoração prima.
Se um número inteiro positivo n tem fatoração prima
n = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{k}^{a_{k}},
onde os p_{i} são primos distintos e os a_{i} são inteiros positivos, então cada divisor positivo d de n também pode ser escrito na forma
d = p_{1}^{b_{1}} p_{2}^{b_{2}} \cdots p_{k}^{b_{k}},
onde cada expoente b_{i} satisfaz 0 \le b_{i} \le a_{i}.
Para cada primo p_{i} há exatamente (a_{i}+1) escolhas possíveis para b_{i} (porque b_{i} pode ser 0,1,2,\dots,a_{i}). Como as escolhas dos expoentes são independentes entre si, o número total de divisores é o produto das quantidades de escolhas:
\text{número de divisores} = \prod_{i=1}^{k} (a_{i}+1).ú
Essa fórmula é simplesmente um princípio multiplicativo de contagem aplicado às escolhas de expoentes.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso concreto. Da fatoração dada temos três primos com expoentes:
a_{1}=4\\ \text{(para o primo }2),\qquad a_{2}=1\\ \text{(para o primo }3),\qquad a_{3}=2\\ \text{(para o primo }5).
Portanto o número de divisores é
(a_{1}+1)(a_{2}+1)(a_{3}+1) = (4+1)(1+1)(2+1).

Passo 4

Calcule passo a passo sem calculadora:
4+1=5,\qquad 1+1=2,\qquad 2+1=3.
Multiplicando:
5\cdot 2 = 10,\qquad 10\cdot 3 = 30.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida: isso significa que existem exatamente 30 divisores positivos distintos de 1200. A contagem inclui o divisor 1 (quando todos os b_{i}=0) e o próprio 1200 (quando todos os b_{i}=a_{i}). Um exemplo menor para ver que a fórmula faz sentido: para 12=2^{2}3^{1} a fórmula dá (2+1)(1+1)=3\cdot2=6, e de fato os divisores de 12 são 1,2,3,4,6,12 (seis deles).

Resposta

30

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