Questão 6.2. Quantos divisores distintos o número 1200 possui? Dica:
.
Passo 1
O enunciado pergunta quantos divisores distintos o número
possui. A informação dada (peguei da dica) é a fatoração prima:
O que se pede: calcular a quantidade total de divisores positivos distintos de
.
Passo 2
Idea-chave (fórmula que vou usar) — contagem de divisores a partir da fatoração prima.
Se um número inteiro positivo
tem fatoração prima
onde os
são primos distintos e os
são inteiros positivos, então cada divisor positivo
de
também pode ser escrito na forma
onde cada expoente
satisfaz
.
Para cada primo
há exatamente
escolhas possíveis para
(porque
pode ser
). Como as escolhas dos expoentes são independentes entre si, o número total de divisores é o produto das quantidades de escolhas:
Essa fórmula é simplesmente um princípio multiplicativo de contagem aplicado às escolhas de expoentes.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso concreto. Da fatoração dada temos três primos com expoentes:
Portanto o número de divisores é
Passo 4
Calcule passo a passo sem calculadora:
Multiplicando:
Passo 5
Interpretação e checagem rápida: isso significa que existem exatamente
divisores positivos distintos de
. A contagem inclui o divisor
(quando todos os
) e o próprio
(quando todos os
). Um exemplo menor para ver que a fórmula faz sentido: para
a fórmula dá
, e de fato os divisores de
são
(seis deles).