Quantos subconjuntos tem um conjunto com:
nenhum elemento?

Passo 1

O enunciado pergunta claramente: “Quantos subconjuntos tem um conjunto com nenhum elemento?”
Informações dadas:
  • Existe um conjunto que contém nenhum elemento (ou seja, seu número de elementos é zero).
  • A tarefa é contar quantos subconjuntos esse conjunto possui.

Passo 2

Vamos definir com calma o que é um subconjunto. Dado um conjunto A, dizemos que B é subconjunto de A (escrevemos B \subseteq A) quando todo elemento de B também é elemento de A. Em outras palavras: não existe elemento em B que não esteja em A.
Apresentando a notação e conceitos úteis que usaremos:
  • O conjunto vazio é o conjunto que não tem elementos e é denotado por \varnothing.
  • A potência (conjunto das partes) de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A e é denotada por \mathcal{P}(A).
  • A quantidade de subconjuntos de um conjunto com n elementos costuma ser indicada por |\mathcal{P}(A)| ou simplesmente por 2^n (vamos justificar essa fórmula nos próximos passos).

Passo 3

Intuição simples com exemplos pequenos para entender o padrão:
  • Se um conjunto tem n=1 elemento, por exemplo A=\{x\}, seus subconjuntos são \varnothing e \{x\}. Ou seja, 2 subconjuntos.
  • Se n=2, por exemplo A=\{x,y\}, os subconjuntos são \varnothing,\{x\},\{y\},\{x,y\} — total 4.
  • Se n=3, total 8. Repare o padrão: 1,2,4,8,\dots que são potências de 2.

Passo 4

Justificativa combinatória (como provar que o número de subconjuntos é 2^n): Considere um conjunto A com n elementos distintos. Para construir um subconjunto B de A, para cada elemento de A temos duas opções independentes: colocá-lo em B ou não colocá-lo em B. Como são n elementos e cada um dá 2 escolhas, pelo princípio multiplicativo o número total de subconjuntos é
2\times 2\times \cdots \times 2 = 2^{n},
com n fatores. Essa é a razão do número 2^n.

Passo 5

Aplicando ao caso pedido: o conjunto tem nenhum elemento, ou seja, n=0. Substituindo na fórmula:
2^{n}=2^{0}.
Pelo fato básico de potências, 2^{0}=1.
Interpretação: existe exatamente 1 subconjunto. Qual é esse subconjunto? É o próprio conjunto vazio \varnothing. Lembre que \varnothing é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo, e quando não há outros elementos não há nenhuma outra escolha além de \varnothing.

Passo 6

Dica para prova/exame: quando ver “conjunto com nenhum elemento” pense imediatamente em n=0 e lembre a fórmula geral 2^n. Assim evita cálculos desnecessários.

Resposta

1

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