Quantos subconjuntos tem um conjunto com:
nenhum elemento?
nenhum elemento?
Passo 1
O enunciado pergunta claramente: “Quantos subconjuntos tem um conjunto com nenhum elemento?”
Informações dadas:
- Existe um conjunto que contém nenhum elemento (ou seja, seu número de elementos é zero).
- A tarefa é contar quantos subconjuntos esse conjunto possui.
Passo 2
Vamos definir com calma o que é um subconjunto. Dado um conjunto
, dizemos que
é subconjunto de
(escrevemos
) quando todo elemento de
também é elemento de
. Em outras palavras: não existe elemento em
que não esteja em
.
Apresentando a notação e conceitos úteis que usaremos:
- O conjunto vazio é o conjunto que não tem elementos e é denotado por
. - A potência (conjunto das partes) de um conjunto
é o conjunto formado por todos os subconjuntos de e é denotada por . - A quantidade de subconjuntos de um conjunto com
elementos costuma ser indicada por ou simplesmente por (vamos justificar essa fórmula nos próximos passos).
Passo 3
Intuição simples com exemplos pequenos para entender o padrão:
- Se um conjunto tem
elemento, por exemplo , seus subconjuntos são e . Ou seja, subconjuntos. - Se
, por exemplo , os subconjuntos são — total . - Se
, total . Repare o padrão: que são potências de .
Passo 4
Justificativa combinatória (como provar que o número de subconjuntos é
): Considere um conjunto
com
elementos distintos. Para construir um subconjunto
de
, para cada elemento de
temos duas opções independentes: colocá-lo em
ou não colocá-lo em
. Como são
elementos e cada um dá
escolhas, pelo princípio multiplicativo o número total de subconjuntos é
com
fatores. Essa é a razão do número
.
Passo 5
Aplicando ao caso pedido: o conjunto tem nenhum elemento, ou seja,
. Substituindo na fórmula:
Pelo fato básico de potências,
.
Interpretação: existe exatamente
subconjunto. Qual é esse subconjunto? É o próprio conjunto vazio
. Lembre que
é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo, e quando não há outros elementos não há nenhuma outra escolha além de
.
Passo 6
Dica para prova/exame: quando ver “conjunto com nenhum elemento” pense imediatamente em
e lembre a fórmula geral
. Assim evita cálculos desnecessários.