Questão 2. Querendo determinar a quantidade média de nicotina dos cigarros, uma empresa retirou uma amostra de 25 cigarros e obteve os seguintes resultados:
\bar{x}=38 m g \quad s^{2}=0,25 m g^{2}
Ao nível de 5 \%, teste se a quantidade média de nicotina pode ser considerada inferior a 40 mg .

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de n=25 cigarros com média amostral \bar{x}=38 mg e variância amostral s^{2}=0,25 mg ^2. Queremos testar, a 5\% de significância, se a verdadeira média de nicotina \mu é inferior a 40 mg. Como a variância populacional é desconhecida e n é pequeno, vamos usar o teste t de Student para a média.

Passo 2

Formulamos as hipóteses e definimos o nível de significância:
H_{0}:\mu=40 \qquad H_{1}:\mu<40 \alpha=0,05.
O estatístico de teste é
T=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\,s/\sqrt{n}\,}\,,
que, sob H_{0}, segue t com n-1=24 graus de liberdade.

Passo 3

Calculamos o desvio padrão amostral e o erro padrão da média:
s=\sqrt{0,25}=0,5\;\text{mg}, \qquad \text{erro padrão}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,5}{\sqrt{25}}=0,1\;\text{mg}.ã
Logo,
T=\frac{38-40}{0,1}=-20.

Passo 4

Para \alpha=0,05 e 24 graus de liberdade, o valor crítico da cauda esquerda é
t_{0,05;24}\approx -1,7109.
A regra de decisão é rejeitar H_{0} se
T\le t_{0,05;24}.
Como -20 < -1,7109, rejeitamos H_{0}.

Passo 5

Rejeitando H_{0}, concluímos, com 5\% de significância, que a média de nicotina dos cigarros é inferior a 40 mg.

Resposta

Rejeita-se H_{0} e conclui-se que a média de nicotina é inferior a 40 mg.

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