Questão 9 Racionalize o denominador em cada uma das expressões a seguir:
frac{8}{\sqrt[3]{4}};

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar o denominador da expressão \frac{8}{\sqrt[3]{4}}. Vamos usar propriedades de potências e multiplicar numerador e denominador por um fator que torne o denominador uma potência inteira de 4.

Passo 2

Escrevemos \sqrt[3]{4}=4^{1/3}. Para eliminar a raiz cúbica no denominador, multiplicamos numerador e denominador por (4^{2/3}$, pois
4^{1/3}\cdot 4^{2/3}=4^{(1/3+2/3)}=4^1=4.
Assim:
\frac{8}{\sqrt[3]{4}} = \frac{8}{4^{1/3}}\cdot\frac{4^{2/3}}{4^{2/3}} = \frac{8\cdot4^{2/3}}{4}.)

Passo 3

No numerador temos
8\cdot4^{2/3}=8\cdot\sqrt[3]{4^2}=8\sqrt[3]{16},
e no denominador 4. Logo,
\frac{8\sqrt[3]{16}}{4}=2\sqrt[3]{16}.
Por fim, note que
\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\cdot2}=\sqrt[3]{8}\,\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2},
então
2\sqrt[3]{16}=2\cdot(2\sqrt[3]{2})=4\sqrt[3]{2}.

Resposta

4\sqrt[3]{2}

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