Questão 2 [ 0,3 pt]
Um raio de sol, passando através de uma pequena fenda numa folha localizada na ponta de uma árvrore alta projeta no solo horizontal uma mancha em forma de elipse. Os eixos maior e menor da elipse são, respectivamente, iguais a
e
.
Calcule a altura da árvore sabendo que o diâmetro angular do disco solar é
.
Um raio de sol, passando através de uma pequena fenda numa folha localizada na ponta de uma árvrore alta projeta no solo horizontal uma mancha em forma de elipse. Os eixos maior e menor da elipse são, respectivamente, iguais a
Passo 1
O enunciado descreve uma “câmera estenopeica” improvisada: o disco solar de diâmetro angular
serve de fonte estendida, e um orifício na copa da árvore projeta no chão uma mancha elíptica de eixos maior
e menor
. O conteúdo é a projeção de um disco de diâmetro angular
através de um orifício, cujo tamanho na tela perpendicular aos raios seria
, mas como o chão é horizontal e os raios vêm inclinados (ângulo cenital do Sol), essa mancha circular vira uma elipse. Vamos usar essa geometria para achar a altura
da árvore.
Passo 2
Seja
a altura do orifício acima do chão. Num plano perpendicular aos raios solares, a imagem do disco teria diâmetro
Quando projetamos esse círculo num plano horizontal (inclinado em relação aos raios por um ângulo
), ele vira uma elipse de semieixos
- semieixo menor
, - semieixo maior
.
Aqui o semieixo menor da elipse projetada corresponde exatamente a
Passo 3
Isolando
na relação
temos
Passo 4
Substituindo
,cm e
: primeiro
e
Logo
Resposta
A altura da árvore é aproximadamente
metros.