Questão 2 [ 0,3 pt]
Um raio de sol, passando através de uma pequena fenda numa folha localizada na ponta de uma árvrore alta projeta no solo horizontal uma mancha em forma de elipse. Os eixos maior e menor da elipse são, respectivamente, iguais a a=12,0 cm e b=10,0 cm.
Calcule a altura da árvore sabendo que o diâmetro angular do disco solar é alpha=0,532^circ.

Passo 1

O enunciado descreve uma “câmera estenopeica” improvisada: o disco solar de diâmetro angular alpha serve de fonte estendida, e um orifício na copa da árvore projeta no chão uma mancha elíptica de eixos maior a e menor b. O conteúdo é a projeção de um disco de diâmetro angular alpha através de um orifício, cujo tamanho na tela perpendicular aos raios seria 2htan(tfracalpha2), mas como o chão é horizontal e os raios vêm inclinados (ângulo cenital do Sol), essa mancha circular vira uma elipse. Vamos usar essa geometria para achar a altura h da árvore.

Passo 2

Seja h a altura do orifício acima do chão. Num plano perpendicular aos raios solares, a imagem do disco teria diâmetro
D = 2,h,tanl(tfracalpha2r)
Quando projetamos esse círculo num plano horizontal (inclinado em relação aos raios por um ângulo thetaz), ele vira uma elipse de semieixos
  • semieixo menor R = tfrac D2 = h,tan(tfracalpha2),
  • semieixo maior Rcosthetaz.
Aqui o semieixo menor da elipse projetada corresponde exatamente a
b = 2,R = 2,h,tanl(tfracalpha2r)

Passo 3

Isolando h na relação
b = 2,h,tanl(tfracalpha2r),
temos
h = b2,tanl(tfracalpha2r)

Passo 4

Substituindo b=10,0,cm e alpha=0,532^circ: primeiro tfracalpha2=0,266^circ e
tan(0,266^circ)approx0,004644
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h approx 10,02cdot0,004644 rm cm approx 10,00,009288 rm cm approx1076 rm cm =10,8 rm m

Resposta

A altura da árvore é aproximadamente 10,8 metros.

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