Questão 7 (Raios de Curvatura e Geometria do Elipsoide)
Dada a latitude de um ponto de interesse \varphi=-24^{\circ} 00^{\prime} 00^{\prime \prime} (próximo a Pato Branco):
Calcule o Raio de Curvatura da Seção Normal (N).

Passo 1

O enunciado dá a latitude do ponto de interesse e pede o Raio de Curvatura da Seção Normal (denotado por N). Informações fornecidas:
  • Latitude: \varphi = -24^\circ 00' 00'' (valor absoluto |\varphi| = 24^\circ).
    O que se pede: calcular N nessa latitude.

Passo 2

Observação (assunção necessária). O enunciado não forneceu os parâmetros do elipsóide (semi-eixo maior a e achatamento f). Vou assumir os parâmetros do elipsóide WGS84, que são padrão em muitos exercícios:
a = 6378137,0\\ \mathrm{m}, \qquad f = \dfrac{1}{298,257223563}\approx 0,00335281066474748.
Se o seu professor usa outro elipsóide (por ex. Clarke ou Hayford), o procedimento é o mesmo, só mudam os números.

Passo 3

Fórmula e significado. O Raio de Curvatura na Seção Normal (primeiro raio de curvatura, chamado de raio da vertical normal ou raio na normal ao meridiano no plano vertical) é dado por
N=\dfrac{a}{\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}},
onde:
  • a é o semi-eixo maior do elipsóide (em metros);
  • e^{2} é a primeira excentricidade ao quadrado do elipsóide;
  • \varphi é a latitude do ponto (em radianos quando for usar funções trigonométricas);
  • \sin\varphi é o seno da latitude.
    Explicando a fórmula de maneira simples: o denominador corrige o raio a por conta do achatamento do elipsóide; quanto maior |\sin\varphi|, maior o efeito da excentricidade e maior será N (isto é, N cresce ao se aproximar dos polos).

Passo 4

Calcular e^{2} a partir de f. A relação entre achatamento e primeira excentricidade é
e^{2}=2f-f^{2}.
Substituindo f do WGS84:
e^{2}=2\cdot 0,00335281066474748 - (0,00335281066474748)^{2} \approx 0,00669437999014132.

Passo 5

Converter a latitude e calcular \sin^{2}\varphi.
A latitude dada é \varphi=-24^\circ 00' 00'', ou seja |\varphi|=24^\circ. Em radianos:
\varphi = 24^\circ = 24\cdot \dfrac{\pi}{180}\\ \text{rad}\approx 0,4188790205\\ \text{rad}.
Calcular o seno e seu quadrado:
\sin\varphi \approx \sin(24^\circ)\approx 0,4067366431, \qquad \sin^{2}\varphi \approx 0,165434.

Passo 6

Calcular o termo e^{2}\sin^{2}\varphi e o denominador da fórmula:
e^{2}\sin^{2}\varphi \approx 0,00669437999014132 \times 0,165434 \approx 0,00110675.
Portanto
1 - e^{2}\sin^{2}\varphi \approx 1 - 0,00110675 = 0,99889325,
e
\sqrt{1 - e^{2}\sin^{2}\varphi}\approx \sqrt{0,99889325}\approx 0,999446626.

Passo 7

Calcular N usando a fórmula:
N=\dfrac{a}{\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}} =\dfrac{6378137,0}{0,999446626}\approx 6381666,78\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: esse é o raio da seção normal (primeira curvatura) no ponto de latitude \varphi=-24^\circ no elipsóide WGS84.

Resposta

N \approx 6381666,78\\ \mathrm{m}

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