Mostre que \mathrm{Q}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{4}+4 \mathrm{x}^{2}+13 não possui raízes reais e encontre duas raízes complexas.
Objetivo:
Compreender raízes complexas e conjugadas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Mostrar que Q(x)=x^{4}+4x^{2}+13 não possui raízes reais.
Encontrar duas raízes complexas de Q(x).
Informações dadas:
O polinômio é Q(x)=x^{4}+4x^{2}+13.
Não há outras informações externas; tudo que precisamos vem da forma do polinômio.
Passo 2
Mostrar que não há raízes reais: uma maneira eficiente é reescrever o polinômio como soma de quadrados.
Calcule (x^{2}+2)^{2}:
(x^{2}+2)^{2}=x^{4}+4x^{2}+4.
Comparando com Q(x) temos
Q(x)=x^{4}+4x^{2}+13=(x^{2}+2)^{2}+9.
Agora raciocínio (explicando passo a passo): para qualquer x\in\mathbb{R} a quantidade (x^{2}+2)^{2} é um quadrado real, logo (x^{2}+2)^{2}\ge 0. Assim
Q(x)=(x^{2}+2)^{2}+9 \ge 0+9=9.
Como Q(x)\ge 9>0 para todo x\in\mathbb{R}, não existe x\in\mathbb{R} tal que Q(x)=0. Portanto Q(x) não tem raízes reais.
Passo 3
Agora queremos achar raízes complexas. Faça a substituição padrão y=x^{2}. Então precisamos resolver a equação quadrática em y:
y^{2}+4y+13=0.
Use a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para ay^{2}+by+c=0 vale
onde \operatorname{sgn}(v) é o sinal de v (ou seja 1 se v>0, -1 se v<0; se v=0 escolhe‑se o sinal adequado). Essa fórmula vem de escrever (a+ib)^{2}=u+iv e resolver para a e b.
Aplicando a x^{2}=-2+3i: aqui u=-2, v=3 e o módulo é
Então uma escolha de duas raízes complexas (conjugadas entre si) é
x_{1}=a+ib,\qquad x_{2}=a-ib.
Observação importante e útil para provas: os coeficientes de Q(x) são reais, logo se w é raiz então o conjugado \overline{w} também é raiz. Assim é natural apresentar um par conjugado como duas raízes complexas.
Passo 5
Recapitulando de forma clara e prática:
Mostrou‑se que Q(x)=(x^{2}+2)^{2}+9>0 para todo x\in\mathbb{R}, logo não há raízes reais.
Encontraram‑se as duas possibilidades para x^{2}, x^{2}=-2\pm 3i, e extraiu‑se a raiz quadrada do caso x^{2}=-2+3i usando a fórmula de raízes de complexos, obtendo as raízes explicitamente em termos de radicais a e b acima.
Força aí — polinômios quarticos podem parecer assustadores, mas a ideia foi simples: completar quadrado para eliminar raízes reais e reduzir a um quadrado de número complexo para achar raízes complexas.
Resposta
Não possui raízes reais.
Duas raízes complexas são