Questão 6

Mostre que \mathrm{Q}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{4}+4 \mathrm{x}^{2}+13 não possui raízes reais e encontre duas raízes complexas.
Objetivo:
  • Compreender raízes complexas e conjugadas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar que Q(x)=x^{4}+4x^{2}+13 não possui raízes reais.
  • Encontrar duas raízes complexas de Q(x).
Informações dadas:
  • O polinômio é Q(x)=x^{4}+4x^{2}+13.
  • Não há outras informações externas; tudo que precisamos vem da forma do polinômio.

Passo 2

Mostrar que não há raízes reais: uma maneira eficiente é reescrever o polinômio como soma de quadrados.
Calcule (x^{2}+2)^{2}:
(x^{2}+2)^{2}=x^{4}+4x^{2}+4.
Comparando com Q(x) temos
Q(x)=x^{4}+4x^{2}+13=(x^{2}+2)^{2}+9.
Agora raciocínio (explicando passo a passo): para qualquer x\in\mathbb{R} a quantidade (x^{2}+2)^{2} é um quadrado real, logo (x^{2}+2)^{2}\ge 0. Assim
Q(x)=(x^{2}+2)^{2}+9 \ge 0+9=9.
Como Q(x)\ge 9>0 para todo x\in\mathbb{R}, não existe x\in\mathbb{R} tal que Q(x)=0. Portanto Q(x) não tem raízes reais.

Passo 3

Agora queremos achar raízes complexas. Faça a substituição padrão y=x^{2}. Então precisamos resolver a equação quadrática em y:
y^{2}+4y+13=0.
Use a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para ay^{2}+by+c=0 vale
y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=4, c=13. Calculando o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=16-52=-36.
Logo
y=\frac{-4\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{-4\pm 6i}{2}=-2\pm 3i.
Portanto as duas possibilidades para x^{2} são
x^{2}=-2+3i \quad\text{ou}\quad x^{2}=-2-3i.

Passo 4

Agora precisamos extrair raízes quadradas de números complexos. Vou explicar uma fórmula prática e aplicá‑la.
Para um número complexo z=u+iv define-se o módulo r=\sqrt{u^{2}+v^{2}}. As raízes quadradas de z são
\pm\!\left(\sqrt{\frac{r+u}{2}} \;+\; i\,\operatorname{sgn}(v)\sqrt{\frac{r-u}{2}}\right),
onde \operatorname{sgn}(v) é o sinal de v (ou seja 1 se v>0, -1 se v<0; se v=0 escolhe‑se o sinal adequado). Essa fórmula vem de escrever (a+ib)^{2}=u+iv e resolver para a e b.
Aplicando a x^{2}=-2+3i: aqui u=-2, v=3 e o módulo é
r=\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
Pela fórmula, as raízes são
\pm\!\left(\sqrt{\frac{\sqrt{13}-2}{2}} \;+\; i\sqrt{\frac{\sqrt{13}+2}{2}}\right).
Chame
a=\sqrt{\frac{\sqrt{13}-2}{2}},\qquad b=\sqrt{\frac{\sqrt{13}+2}{2}}.
Então uma escolha de duas raízes complexas (conjugadas entre si) é
x_{1}=a+ib,\qquad x_{2}=a-ib.
Observação importante e útil para provas: os coeficientes de Q(x) são reais, logo se w é raiz então o conjugado \overline{w} também é raiz. Assim é natural apresentar um par conjugado como duas raízes complexas.

Passo 5

Recapitulando de forma clara e prática:
  • Mostrou‑se que Q(x)=(x^{2}+2)^{2}+9>0 para todo x\in\mathbb{R}, logo não há raízes reais.
  • Encontraram‑se as duas possibilidades para x^{2}, x^{2}=-2\pm 3i, e extraiu‑se a raiz quadrada do caso x^{2}=-2+3i usando a fórmula de raízes de complexos, obtendo as raízes explicitamente em termos de radicais a e b acima.
Força aí — polinômios quarticos podem parecer assustadores, mas a ideia foi simples: completar quadrado para eliminar raízes reais e reduzir a um quadrado de número complexo para achar raízes complexas.

Resposta

Não possui raízes reais.
Duas raízes complexas são
x_{1}=\sqrt{\frac{\sqrt{13}-2}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{13}+2}{2}}
x_{2}=\sqrt{\frac{\sqrt{13}-2}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{13}+2}{2}}

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