Questão 4 - Para uma reação de primeira ordem, \mathrm{k}=0,23 \mathrm{~min}^{-1} e [\mathrm{A}]_{0}=0,50 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}.
a) Determine [\mathrm{A}] após 10 min
b) Determine o tempo necessário para que [\mathrm{A}] seja reduzida a 0,10 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}

Passo 1

Enunciado e dados (o que a questão pede e o que foi dado):
  • A reação é de primeira ordem e foram fornecidos os parâmetros:
    • k = 0,23\\ \mathrm{min}^{-1}.
    • [\mathrm{A}]_{0} = 0,50\\ \mathrm{mol}\,/\,\mathrm{L}.
  • Perguntas:
    a) Determinar [\mathrm{A}] após 10 min.
    b) Determinar o tempo necessário para que [\mathrm{A}] seja reduzida a 0,10\\ \mathrm{mol}\,/\,\mathrm{L}.

Passo 2

Conceito e fórmula integrada para reação de primeira ordem (aula rápida).
  • Para uma reação de primeira ordem a velocidade instantânea é proporcional à concentração: \dfrac{d[\mathrm{A}]}{dt} = -k[\mathrm{A}].
  • Vamos resolver essa equação diferencial por separação de variáveis (explico passo a passo): \frac{d[\mathrm{A}]}{dt} = -k[\mathrm{A}]Separe as variáveis colocando todos os termos com [\mathrm{A}] de um lado e t do outro: \frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]} = -k\,dtIntegre ambos os lados desde o instante inicial (onde [\mathrm{A}]=[\mathrm{A}]_{0} em t=0) até um tempo genérico t (onde [\mathrm{A}]=[\mathrm{A}](t)): \int_{[\mathrm{A}]_{0}}^{[\mathrm{A}](t)} \frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]} = -k \int_{0}^{t} dtA integral do lado esquerdo é um logaritmo natural, e do direito é -kt. Assim: \ln\!\bigl([\mathrm{A}](t)\bigr) - \ln\!\bigl([\mathrm{A}]_{0}\bigr) = -ktReorganizando: \ln\!\left(\frac{[\mathrm{A}](t)}{[\mathrm{A}]_{0}}\right) = -ktExponenciando ambos os lados obtém-se a forma usual: [\mathrm{A}](t) = [\mathrm{A}]_{0}\,e^{-kt}.
  • Alternativamente, para resolver para o tempo t quando conhecemos [\mathrm{A}](t), usamos a forma logarítmica: t = \frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{A}]_{0}}{[\mathrm{A}](t)}\right).
  • Aqui:
    • [\mathrm{A}](t) é a concentração no tempo t.
    • [\mathrm{A}]_{0} é a concentração inicial.
    • k é a constante de velocidade (unidade \mathrm{min}^{-1} neste problema).
    • t é o tempo (em minutos).

Passo 3

Aplicando a fórmula para o item (a): calcular [\mathrm{A}] em t=10\\ \mathrm{min}.
  • Use a fórmula integrada: [\mathrm{A}](t) = [\mathrm{A}]_{0}\,e^{-kt}.
  • Substituindo os valores dados: [\mathrm{A}](10) = 0,50\;e^{-0,23\cdot 10}.
  • Calcule o expoente: -0,23\cdot 10 = -2,3.
  • Portanto: [\mathrm{A}](10) = 0,50\;e^{-2,3}.
  • Para estimar e^{-2,3} manualmente (truque útil na prova): escreva e^{-2,3} = e^{-2}\cdot e^{-0,3}. Conhecendo tabelas ou aproximações:
    • e^{-2}\approx 0,135335
    • e^{-0,3}\approx 0,740818
    • Multiplicando: e^{-2,3}\approx 0,135335\times 0,740818\approx 0,100258.
  • Agora multiplique pela concentração inicial: [\mathrm{A}](10) \approx 0,50\times 0,100258 \approx 0,050129\\ \mathrm{mol}\,/\,\mathrm{L}.
  • Arredondando razoavelmente (mantendo precisão compatível com os dados dados): [ \mathrm{A} ](10) \approx 0,0501\\ \mathrm{mol}\,/\,\mathrm{L}.

Passo 4

Aplicando a fórmula para o item (b): tempo para [\mathrm{A}](t)=0,10\\ \mathrm{mol}\,/\,\mathrm{L}.
  • Use a forma logarítmica: t = \frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{A}]_{0}}{[\mathrm{A}](t)}\right).
  • Substituindo os valores: t = \frac{1}{0,23}\ln\!\left(\frac{0,50}{0,10}\right).
  • Calcule a razão dentro do logaritmo: \frac{0,50}{0,10} = 5.
  • Então: t = \frac{1}{0,23}\ln(5).
  • Use o valor de \ln(5): \ln(5)\approx 1,609438.
  • Agora divida: t \approx \frac{1,609438}{0,23} \approx 6,99755\\ \mathrm{min}.
  • Arredondando de forma prática para a prova: t \approx 7,00\\ \mathrm{min}.

Passo 5

Interpretação rápida e dica para a prova:
  • Em reações de primeira ordem a concentração decai exponencialmente; o tempo para reduzir para uma fração fixa depende logaritmicamente da razão [\mathrm{A}]_{0}/[\mathrm{A}](t). Sempre que precisar do tempo use t=(1/k)\ln([\mathrm{A}]_{0}/[\mathrm{A}]).
  • Dica: para calcular e^{x} ou \ln sem calculadora, use decomposição como fizemos ( e^{-2,3}=e^{-2}e^{-0,3}) e tabelas ou aproximações conhecidas.

Resposta

a) 0,0501\\ \mathrm{mol}\,/\,\mathrm{L}\n
b) 7,00\\ \mathrm{min}

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