Questão 3 - Um gráfico de
(eixo y) em função do tempo (eixo x) resulta em uma reta.
a) Qual a ordem da reação?
b) Escreva a lei integrada correspondente
c) Explique o significado do coeficiente angular
a) Qual a ordem da reação?
b) Escreva a lei integrada correspondente
c) Explique o significado do coeficiente angular
Passo 1
O enunciado diz que o gráfico de
(eixo
) em função do tempo
(eixo
) resulta em uma reta. As perguntas são:
a) Qual a ordem da reação?
b) Escreva a lei integrada correspondente.
c) Explique o significado do coeficiente angular.
a) Qual a ordem da reação?
b) Escreva a lei integrada correspondente.
c) Explique o significado do coeficiente angular.
Informações relevantes dadas:
- O que foi plotado no eixo vertical é
, onde é a concentração do reagente . - O que foi plotado no eixo horizontal é o tempo
. - O gráfico formado por
versus é uma reta (linear).
Passo 2
Vou explicar a ideia geral das leis de velocidade e como elas se relacionam com gráficos. Para uma reação em que a concentração de
varia no tempo, a forma diferencial geral da lei de velocidade (assumindo dependência apenas de
) é
onde:
-
é a concentração do reagente no instante ; -
é a constante de velocidade (sempre positiva); -
é a ordem da reação relativa a ; - o sinal negativo indica que
diminui com o tempo (consumo do reagente).
Esta equação é a base para obter as chamadas leis integradas, que relacionam
diretamente com
. A forma da lei integrada depende do valor de
. A estratégia usual para descobrir a ordem a partir de dados experimentais é: testar qual tipo de gráfico (por exemplo
vs
,
vs
,
vs
) é linear — cada uma dessas linearidades corresponde a uma ordem diferente.
Passo 3
Agora vou derivar a lei integrada para o caso
(primeira ordem), porque o enunciado já dá uma pista importante: a linearidade de
versus
. Começando da equação diferencial para
:
Isto é uma equação diferencial separável. Separe variáveis colocando termos com
de um lado e
do outro:
Agora integramos ambos os lados. Vou integrar de
(concentração inicial
) até tempo
(concentração
):
A integral do lado esquerdo é o logaritmo natural; a do lado direito é
. Assim:
Rearranjando:
Esta é a lei integrada para uma reação de primeira ordem. Note que é uma equação afim em
: forma de reta
.
Passo 4
Interpretação imediata da linearidade observada: se o gráfico de
versus
é uma reta, então os dados seguem a equação
ou seja, a forma integrada que acabamos de obter para
. Portanto, pela correspondência direta entre forma linear e lei integrada, conclui-se que a reação é de primeira ordem em
.
Passo 5
Vou explicar detalhadamente cada termo da equação linearizada e o que isso significa na prática:
- O coeficiente angular da reta (slope) é o número que multiplica
na expressão . Assim o coeficiente angular vale exatamente . - O coeficiente linear (intercepto no eixo
) vale , ou seja o logaritmo da concentração inicial.
Passo 6
Significado físico e operacional do coeficiente angular
:
- Como é
, o sinal negativo indica que (e portanto ) decresce com o tempo: a reta tem inclinação descendente. Isso reflete o consumo do reagente. - O valor absoluto do coeficiente angular
é igual à constante de velocidade . Em experimentos, ajusta-se uma reta a vs e obtém-se o seu slope; o valor de é o negativo desse slope:
- As unidades de
para primeira ordem são tempo , por exemplo , , etc., dependendo da unidade usada para .
Passo 7
Contexto útil para prova (como usar isso rapidamente):
- Se te pedirem para identificar a ordem: checar qual gráfico é linear —
vs linear → primeira ordem. - Se te pedirem
: ajustar reta, ler slope , então . - Metade-vida em primeira ordem (fórmula que costuma cair em prova): a partir de
, impondo , obtém-se
que é independente de
(característica das reações de primeira ordem).
Resposta
a) A reação é de primeira ordem em
.
b) Lei integrada: .
c) O coeficiente angular da reta vale : o seu sinal negativo indica decaimento da concentração e o seu valor absoluto
é a constante de velocidade (unidades de tempo
).
b) Lei integrada:
c) O coeficiente angular da reta vale