Questão 3 - Um gráfico de \ln [A] (eixo y) em função do tempo (eixo x) resulta em uma reta.
a) Qual a ordem da reação?
b) Escreva a lei integrada correspondente
c) Explique o significado do coeficiente angular

Passo 1

O enunciado diz que o gráfico de \ln [A] (eixo y) em função do tempo t (eixo x) resulta em uma reta. As perguntas são:
a) Qual a ordem da reação?
b) Escreva a lei integrada correspondente.
c) Explique o significado do coeficiente angular.
Informações relevantes dadas:
  • O que foi plotado no eixo vertical é \ln [A], onde [A] é a concentração do reagente A.
  • O que foi plotado no eixo horizontal é o tempo t.
  • O gráfico formado por \ln [A] versus t é uma reta (linear).

Passo 2

Vou explicar a ideia geral das leis de velocidade e como elas se relacionam com gráficos. Para uma reação em que a concentração de A varia no tempo, a forma diferencial geral da lei de velocidade (assumindo dependência apenas de [A]) é
\frac{d[A]}{dt} = -k\,[A]^n,
onde:
  • [A]=[A](t) é a concentração do reagente A no instante t;
  • k é a constante de velocidade (sempre positiva);
  • n é a ordem da reação relativa a A;
  • o sinal negativo indica que [A] diminui com o tempo (consumo do reagente).
Esta equação é a base para obter as chamadas leis integradas, que relacionam [A] diretamente com t. A forma da lei integrada depende do valor de n. A estratégia usual para descobrir a ordem a partir de dados experimentais é: testar qual tipo de gráfico (por exemplo [A] vs t, \ln[A] vs t, 1/[A] vs t) é linear — cada uma dessas linearidades corresponde a uma ordem diferente.

Passo 3

Agora vou derivar a lei integrada para o caso n=1 (primeira ordem), porque o enunciado já dá uma pista importante: a linearidade de \ln[A] versus t. Começando da equação diferencial para n=1:
\frac{d[A]}{dt} = -k\,[A].
Isto é uma equação diferencial separável. Separe variáveis colocando termos com [A] de um lado e t do outro:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Agora integramos ambos os lados. Vou integrar de t=0 (concentração inicial [A]_0) até tempo t (concentração [A](t)):
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]} = \int_{0}^{t} -k\,dt.
A integral do lado esquerdo é o logaritmo natural; a do lado direito é -k t. Assim:
\ln [A](t) - \ln [A]_0 = -k t.
Rearranjando:
\ln [A](t) = -k t + \ln [A]_0.
Esta é a lei integrada para uma reação de primeira ordem. Note que é uma equação afim em t: forma de reta \ln [A] = (\text{coef angular})\cdot t + (\text{intercepto}).

Passo 4

Interpretação imediata da linearidade observada: se o gráfico de \ln [A] versus t é uma reta, então os dados seguem a equação
\ln [A](t) = -k t + \ln [A]_0,
ou seja, a forma integrada que acabamos de obter para n=1. Portanto, pela correspondência direta entre forma linear e lei integrada, conclui-se que a reação é de primeira ordem em A.

Passo 5

Vou explicar detalhadamente cada termo da equação linearizada e o que isso significa na prática:
  • O coeficiente angular da reta (slope) é o número que multiplica t na expressão \ln [A](t) = -k t + \ln [A]_0. Assim o coeficiente angular vale exatamente -k.
  • O coeficiente linear (intercepto no eixo y) vale \ln [A]_0, ou seja o logaritmo da concentração inicial.

Passo 6

Significado físico e operacional do coeficiente angular -k:
  • Como é -k, o sinal negativo indica que \ln [A] (e portanto [A]) decresce com o tempo: a reta tem inclinação descendente. Isso reflete o consumo do reagente.
  • O valor absoluto do coeficiente angular |\text{coef angular}| é igual à constante de velocidade k. Em experimentos, ajusta-se uma reta a \ln[A] vs t e obtém-se o seu slope; o valor de k é o negativo desse slope:
k = -\left(\text{coeficiente angular da reta}\right).
  • As unidades de k para primeira ordem são tempo ^{-1}, por exemplo \mathrm{s}^{-1}, \mathrm{min}^{-1}, etc., dependendo da unidade usada para t.

Passo 7

Contexto útil para prova (como usar isso rapidamente):
  • Se te pedirem para identificar a ordem: checar qual gráfico é linear — \ln[A] vs t linear → primeira ordem.
  • Se te pedirem k: ajustar reta, ler slope m, então k=-m.
  • Metade-vida em primeira ordem (fórmula que costuma cair em prova): a partir de \ln[A](t) = -k t + \ln[A]_0, impondo [A](t_{1/2}) = [A]_0/2, obtém-se
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k},
que é independente de [A]_0 (característica das reações de primeira ordem).

Resposta

a) A reação é de primeira ordem em A.
b) Lei integrada: \ln [A](t) = -k\,t + \ln [A]_0.
c) O coeficiente angular da reta vale -k: o seu sinal negativo indica decaimento da concentração e o seu valor absoluto |\text{coef angular}|=k é a constante de velocidade (unidades de tempo ^{-1}).

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