Questão 2

Um recipiente cujo volume é de 1.000 \mathrm{~cm}^{3} a 0^{\circ} \mathrm{C} contém 980 \mathrm{~cm}^{3} de um líquido à mesma temperatura. O conjunto é aquecido e, a partir de uma certa temperatura, o líquido começa a transbordar. Sabendo-se que o coeficiente de dilatação volumétrica do recipiente vale \gamma_{\text {recipiente }}=2,0 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} e o do líquido vale רiquido =1,0 \times 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, qual é a temperatura em que ocorre o início de transbordamento do líquido?

Passo 1

O enunciado dá um recipiente de volume inicial V_{0}=1000, \mathrm{cm}^{3} a 0^\circ\mathrm{C} contendo V_{L0}=980, \mathrm{cm}^{3} de líquido à mesma temperatura. O coeficiente de dilatação volumétrica do recipiente é \gamma_{\text{recipiente}}=2,0\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1} e do líquido é \gamma_{\text{líquido}}=1,0\times10^{-3}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}í. Vamos usar a fórmula da dilatação volumétrica para ambos e encontrar a temperatura T em que o líquido transborda, isto é, quando seu volume iguala o volume do recipiente.

Passo 2

O volume do recipiente após aquecimento em T graus Celsius é dado por
V_{\text{rec}}(T)=V_{0}\,\bigl(1+\gamma_{\text{recipiente}}\,T\bigr).

Passo 3

O volume do líquido após aquecimento em T graus Celsius é
V_{\text{liq}}(T)=V_{L0}\,\bigl(1+\gamma_{\text{líquido}}\,T\bigr).í

Passo 4

Transbordamento ocorre quando
V_{\text{liq}}(T)=V_{\text{rec}}(T),
isto é,
980\,(1+1{,}0\times10^{-3}T)=1000\,(1+2{,}0\times10^{-5}T).
Expandindo ambos os lados:
980+0{,}98\,T=1000+0{,}02\,T.
Reorganizando em T:
0{,}98\,T-0{,}02\,T=1000-980
0{,}96\,T=20
T=\frac{20}{0{,}96}\approx20{,}83^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\displaystyle T\approx20,8^\circ\mathrm{C}.

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