Questāo 4

Uma barra de aço de 10 m de comprimento é soldada pela extremidade a uma barra de cobre de 15 m de comprimento. As duas barras são perfeitamente isoladas em suas partes laterais. A seção reta das duas barras é um quadrado de lado igual a 2,0 \mathrm{~cm}. A extremidade da barra livre de aço é mantida a 150^{\circ} \mathrm{C}, e a extremidade livre da barra de cobre é mantida a 0^{\circ} \mathrm{C}. Calcule: a) a temperatura na junção entre as duas barras.
b) a taxa total de transferência de calor.
c) a quantidade de gelo que derrete em uma hora.
Dados: K_{\text {aco }}=50,2 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, K_{\text {cobre }}=385,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, Lgelo =3,34 \times 10^{5} \mathrm{Kg} / \mathrm{J}

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas barras em série, uma de aço de comprimento L_{\rm aço}=10{,}0\\ \mathrm{m}ç e outra de cobre de comprimento L_{\rm cobre}=15{,}0\\ \mathrm{m}, ambas de seção quadrada de lado 2{,}0\\ \mathrm{cm}. As extremidades livres estão a T_1=150{,}^\circ\mathrm{C} (aço) e T_2=0{,}^\circ\mathrm{C} (cobre), e há isolamento lateral. Em regime estacionário, aplicamos condução de calor unidimensional em série, usando a analogia de resistências térmicas para achar (a) a temperatura de junção T_j, (b) a taxa de calor q e (c) a massa de gelo derretido em 1 h, sabendo L_{\rm gelo}=3{,}34\times10^{5}\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 2

Cálculo da área da seção reta:
A = (0,02\\ \mathrm{m})^2 = 4,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Para regime estacionário, o fluxo de calor é o mesmo nas duas barras, logo
\frac{k_{\rm aço}\,A}{L_{\rm aço}}\bigl(T_1 - T_j\bigr) = \frac{k_{\rm cobre}\,A}{L_{\rm cobre}}\bigl(T_j - T_2\bigr).çç
Substituindo k_{\rm aço}=50{,}2\\ \mathrm{W/m\cdot K}ç e k_{\rm cobre}=385{,}0\\ \mathrm{W/m\cdot K}:
\frac{50{,}2}{10{,}0}(150 - T_j) = \frac{385{,}0}{15{,}0}(T_j - 0).
Isolando T_j:
T_j = \frac{\frac{50{,}2}{10{,}0}\times150}{\frac{50{,}2}{10{,}0} \;+\;\frac{385{,}0}{15{,}0}} \approx24{,}5\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Agora a taxa de transferência de calor é, por exemplo, na barra de aço,
q = \frac{k_{\rm aço}\,A}{L_{\rm aço}}\bigl(T_1 - T_j\bigr) = \frac{50{,}2\times4{,}0\times10^{-4}}{10{,}0}\,(150 - 24{,}5) \approx0{,}252\\ \mathrm{W}.çç

Passo 5

Em uma hora 3600\\ \mathrm{s}, a energia total é
E = q\,\Delta t = 0{,}252\\ \mathrm{W}\times3600\\ \mathrm{s}\approx907{,}2\\ \mathrm{J}.
A massa de gelo derretida é
m = \frac{E}{L_{\rm gelo}} = \frac{907{,}2}{3{,}34\times10^{5}} \approx2,72\times10^{-3}\\ \mathrm{kg} \approx2,72\\ \mathrm{g}.

Resposta

(a) T_j\approx24,5\\ ^\circ\mathrm{C}.
(b) q\approx0,252\\ \mathrm{W}.
(c) m\approx2,72\\ \mathrm{g}.

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