Questao 4. Um recıpıente de paredes adıabátıcas é munido de um pıstao adıabátıco móvel, de massa desprezível e 200 \mathrm{~cm}^{2} de área, sobre o qual está colocado um peso de 10 kg . A pressão externa é de 1 atm . O recipiente contém 3 l de gás hélio, para o qual C_{V}=3 R / 2, à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}.
a) Qual é a densidade inicial do gas?

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Área do pistão: A = 200\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Massa colocada sobre o pistão: m_{\text{peso}} = 10\\ \mathrm{kg}.
  • Pressão externa (atmosfera): P_{\text{ext}} = 1\\ \text{atm}.
  • Volume do gás: V = 3\\ \mathrm{L}.
  • Gás: hélio, com C_{V}=3R/2 (essa informação não será necessária para calcular a densidade, mas foi dada).
  • Temperatura inicial: T = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Pedido da letra (a): calcular a densidade inicial do gás, isto é \rho = m/V no estado inicial.

Passo 2

Converter unidades e entender a pressão interna. Explicação física curta: o pistão está em equilíbrio vertical, então a pressão interna do gás deve suportar a pressão externa mais a força do peso dividida pela área do pistão. Logo a pressão do gás inicialmente é
P = P_{\text{ext}} + \frac{m_{\text{peso}}\,g}{A}.
Agora as conversões e cálculo do acréscimo de pressão:
  • Converter A para SI: A = 200\\ \mathrm{cm^{2}} = 200\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}} = 0,02\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Usar g = 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Força do peso: m_{\text{peso}} g = 10\cdot 9,8 = 98\\ \mathrm{N}.
  • Pressão devido ao peso:
\frac{m_{\text{peso}} g}{A} = \frac{98}{0,02} = 4900\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter P_{\text{ext}} para Pa: usar 1\\ \text{atm} = 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Então a pressão interna é
P = 1{,}013\times10^{5} + 4{,}900 = 1{,}062\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Escolher a relação para obter a densidade. Vou usar a lei dos gases ideais e manipular para obter \rho.
Lei dos gases ideais:
P V = n R T,
onde n é o número de mols e R a constante universal dos gases. Relacionando massa m, massa molar M e número de mols:
n = \frac{m}{M}.
Substituindo em P V = n R T:
P V = \frac{m}{M} R T.
Dividindo ambos os lados por V e rearranjando para a densidade \rho = \dfrac{m}{V},
\rho = \frac{m}{V} = \frac{P M}{R T}.
Aqui:
  • \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • P é a pressão absoluta do gás ( \mathrm{Pa});
  • M é a massa molar do gás ( \mathrm{kg/mol});
  • R é a constante universal ( \mathrm{J/(mol\cdot K)});
  • T é a temperatura absoluta ( \mathrm{K}).

Passo 4

Reunir os valores numéricos a usar e converter para SI:
  • Massa molar do hélio: M = 4{,}00\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}00400\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Constante dos gases: R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Temperatura: T = 20^\circ\mathrm{C} = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão (do Passo 2): P = 1{,}062\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Calcular P M e R T:
P M = 1{,}062\times10^{5}\times 0{,}00400 = 424{,}8
(unidade: \mathrm{Pa\cdot kg/mol} = \mathrm{kg/(m\cdot s^{2})\cdot kg/mol}, que ao dividir por R T dará \mathrm{kg/m^{3}}) e
R T = 8{,}314\times 293{,}15 \approx 2{,}437{,}4.
Agora dividir:
\rho = \frac{P M}{R T} = \frac{424{,}8}{2{,}437{,}4} \approx 0{,}174\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 5

Verificação alternativa (mesma resposta por outro caminho) — calcular n, depois massa e densidade:
  • Volume V = 3\\ \mathrm{L} = 3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Número de mols:
n = \frac{P V}{R T} = \frac{1{,}062\times10^{5}\times 3{,}0\times10^{-3}}{8{,}314\times293{,}15} \approx 0{,}1308\\ \mathrm{mol}.
  • Massa do gás:
m = n M = 0{,}1308\times 0{,}00400 \approx 5{,}23\times10^{-4}\\ \mathrm{kg} = 0{,}523\\ \mathrm{g}.
  • Densidade:
\rho = \frac{m}{V} = \frac{5{,}23\times10^{-4}}{3{,}0\times10^{-3}} \approx 0{,}174\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Confere com o cálculo direto do Passo 4.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: a densidade do hélio é muito baixa (como esperado para um gás nobre leve). O acréscimo de pressão devido ao peso do pistão é pequeno frente a 1 atm, mas suficiente para alterar um pouco o valor numérico. Boa! Você já tem a técnica: calcular pressão total pela força/área e depois usar \rho=\dfrac{PM}{RT}.

Resposta

\rho = 0{,}174\\ \mathrm{kg/m^{3}}

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