28.43 - Cabo coaxial. Um condutor sólido com raio a é suportado por discos isolantes no centro de um tubo condutor com raio interno b e raio externo c (Figura E28.43). O condutor central e o tubo conduzem correntes com o mesmo módulo I, mas com sentidos contrários. As correntes são distribuídas uniformemente ao longo da seção reta de cada condutor. Deduza uma expressão para o módulo do campo magnético (a) nos pontos no exterior do condutor sólido central, porém no interior do tubo (a<r<b); (b) nos pontos no exterior do tubo (r>c).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) A expressão para o módulo do campo magnético nos pontos com a<r<b (ou seja, no espaço entre o condutor sólido central e a cavidade interna do tubo).
  • (b) A expressão para o módulo do campo magnético nos pontos com r>c (ou seja, no exterior do tubo).
Informações fornecidas pelo enunciado (dados relevantes):
  • O condutor central é sólido e tem raio a.
  • O tubo condutor é oco, com raio interno b e raio externo c.
  • O condutor central e o tubo conduzem correntes com o mesmo módulo \,I, mas com sentidos opostos.
  • As correntes são distribuídas uniformemente ao longo da seção reta de cada condutor (ou seja, densidade de corrente uniforme em cada região condutora).
  • Queremos o módulo (valor absoluto) do campo magnético como função de r nas duas faixas solicitadas.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicado com cuidado): Lei de Ampère para campos magnéticos em regime estacionário. Ela diz que a integral de linha do campo magnético \vec B ao longo de um caminho fechado é igual a \mu_0 vezes a corrente elétrica total atravessada pela superfície delimitada pelo caminho:
\oint \vec B\cdot d\vec l = \mu_0 I_{\text{enc}}.
Explicando cada símbolo:
  • \vec B é o campo magnético (vetor).
  • d\vec l é um elemento do caminho fechado escolhido.
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0\approx4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}).
  • I_{\text{enc}} é a corrente líquida atravessando a superfície limitada pelo caminho (soma algébrica dos sinais das correntes atravessadas).
Por simetria cilindrica: ao escolher um percurso circular coaxial com os condutores, de raio r, o campo magnético tem direção tangencial (azimutal) e módulo constante sobre esse círculo. Então a integral de linha simplifica para:
\oint \vec B\cdot d\vec l = B(r)\, (2\pi r),
onde B(r) é o módulo do campo na distância radial r. Daí obtemos a forma útil:
B(r)=\frac{\mu_0 I_{\text{enc}}}{2\pi r}.
Ou seja: para encontrar B(r) basta determinar I_{\text{enc}}, a corrente líquida atravessada pelo círculo de raio r.

Passo 3

Aplicando ao caso (a): região a<r<b.
  • Um círculo de raio r com a<r<b engloba totalmente o condutor central (já que r>a), portanto a corrente do condutor central está totalmente incluída em I_{\text{enc}}.
  • O tubo condutor tem sua parte condutora entre b e c; como r<b, nenhuma corrente do tubo é incluída pelo círculo de raio r.
  • As correntes têm mesmo módulo I, e estamos pedindo o módulo do campo; portanto o valor absoluto da corrente envolvida é I_{\text{enc}}=I.
Usando a fórmula da Ampère:
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},\qquad \text{para }a<r<b.
Comentário didático rápido sobre direção: o sentido do vetor \vec B é tangencial (sentido dado pela regra da mão direita em relação ao sentido da corrente efetiva encerrada), mas como o enunciado pede só o módulo, fica a expressão acima.

Passo 4

Aplicando ao caso (b): região r>c.
  • Um círculo de raio r com r>c engloba completamente tanto o condutor central quanto todo o material condutor do tubo (entre b e c).
  • O condutor central transporta corrente I em um sentido; o tubo transporta corrente de módulo I no sentido oposto. Num cálculo algébrico de correntes encerradas, essas correntes se cancelam:
I_{\text{enc}} = I_{\text{central}} + I_{\text{tubo}} = I + (-I) = 0.
  • Portanto, pela lei de Ampère:
B(r)=\frac{\mu_0 I_{\text{enc}}}{2\pi r}=\frac{\mu_0\cdot 0}{2\pi r}=0,\qquad \text{para }r>c.
Interpretação: fora do conjunto dos condutores a corrente líquida total é zero, então o campo magnético resultante é nulo.

Passo 5

Resumo intuitivo e dica para prova:
  • Sempre explore a simetria: aqui a simetria cilíndrica permite usar um caminho circular coaxial e reduzir Ampère a B(2\pi r)=\mu_0 I_{\text{enc}}.
  • Calcule cuidadosamente quais correntes estão totalmente (ou parcialmente) incluídas pelo raio r. Se uma região condutora é totalmente interior ao raio, sua corrente total entra em I_{\text{enc}}; se está totalmente fora, não entra; se o raio corta o material condutor, então seria preciso usar a densidade de corrente uniforme para encontrar a fração de I incluída (não foi o caso pedido aqui).
  • Veja que quando as correntes encerradas se cancelam exatamente, o campo fora dos condutores pode ser zero — isso acontece frequentemente em cabos coaxiais com correntes iguais e opostas.

Resposta

(a) \displaystyle B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\quad\text{para }a<r<b.
(b) \displaystyle B(r)=0\quad\text{para }r>c.

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