28.43 - Cabo coaxial. Um condutor sólido com raio
é suportado por discos isolantes no centro de um tubo condutor com raio interno
e raio externo
(Figura E28.43). O condutor central e o tubo conduzem correntes com o mesmo módulo
, mas com sentidos contrários. As correntes são distribuídas uniformemente ao longo da seção reta de cada condutor. Deduza uma expressão para o módulo do campo magnético (a) nos pontos no exterior do condutor sólido central, porém no interior do tubo
; (b) nos pontos no exterior do tubo
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) A expressão para o módulo do campo magnético nos pontos com
(ou seja, no espaço entre o condutor sólido central e a cavidade interna do tubo). - (b) A expressão para o módulo do campo magnético nos pontos com
(ou seja, no exterior do tubo).
Informações fornecidas pelo enunciado (dados relevantes):
- O condutor central é sólido e tem raio
. - O tubo condutor é oco, com raio interno
e raio externo . - O condutor central e o tubo conduzem correntes com o mesmo módulo
, mas com sentidos opostos. - As correntes são distribuídas uniformemente ao longo da seção reta de cada condutor (ou seja, densidade de corrente uniforme em cada região condutora).
- Queremos o módulo (valor absoluto) do campo magnético como função de
nas duas faixas solicitadas.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicado com cuidado): Lei de Ampère para campos magnéticos em regime estacionário. Ela diz que a integral de linha do campo magnético
ao longo de um caminho fechado é igual a
vezes a corrente elétrica total atravessada pela superfície delimitada pelo caminho:
Explicando cada símbolo:
-
é o campo magnético (vetor). -
é um elemento do caminho fechado escolhido. -
é a permeabilidade do vácuo ( ). -
é a corrente líquida atravessando a superfície limitada pelo caminho (soma algébrica dos sinais das correntes atravessadas).
Por simetria cilindrica: ao escolher um percurso circular coaxial com os condutores, de raio
, o campo magnético tem direção tangencial (azimutal) e módulo constante sobre esse círculo. Então a integral de linha simplifica para:
onde
é o módulo do campo na distância radial
. Daí obtemos a forma útil:
Ou seja: para encontrar
basta determinar
, a corrente líquida atravessada pelo círculo de raio
.
Passo 3
Aplicando ao caso (a): região
.
- Um círculo de raio
com engloba totalmente o condutor central (já que ), portanto a corrente do condutor central está totalmente incluída em . - O tubo condutor tem sua parte condutora entre
e ; como , nenhuma corrente do tubo é incluída pelo círculo de raio . - As correntes têm mesmo módulo
, e estamos pedindo o módulo do campo; portanto o valor absoluto da corrente envolvida é .
Usando a fórmula da Ampère:
Comentário didático rápido sobre direção: o sentido do vetor
é tangencial (sentido dado pela regra da mão direita em relação ao sentido da corrente efetiva encerrada), mas como o enunciado pede só o módulo, fica a expressão acima.
Passo 4
Aplicando ao caso (b): região
.
- Um círculo de raio
com engloba completamente tanto o condutor central quanto todo o material condutor do tubo (entre e ). - O condutor central transporta corrente
em um sentido; o tubo transporta corrente de módulo no sentido oposto. Num cálculo algébrico de correntes encerradas, essas correntes se cancelam:
- Portanto, pela lei de Ampère:
Interpretação: fora do conjunto dos condutores a corrente líquida total é zero, então o campo magnético resultante é nulo.
Passo 5
Resumo intuitivo e dica para prova:
- Sempre explore a simetria: aqui a simetria cilíndrica permite usar um caminho circular coaxial e reduzir Ampère a
. - Calcule cuidadosamente quais correntes estão totalmente (ou parcialmente) incluídas pelo raio
. Se uma região condutora é totalmente interior ao raio, sua corrente total entra em ; se está totalmente fora, não entra; se o raio corta o material condutor, então seria preciso usar a densidade de corrente uniforme para encontrar a fração de incluída (não foi o caso pedido aqui). - Veja que quando as correntes encerradas se cancelam exatamente, o campo fora dos condutores pode ser zero — isso acontece frequentemente em cabos coaxiais com correntes iguais e opostas.
Resposta
(a)
(b)
(b)