Questão 13. Explique por que o ciclo P \times V retangular abaixo não pode ser usado para funcionar como um refrigerador.

Passo 1

O enunciado nos dá um ciclo retangular no diagrama P\times V com quatro ramos isobáricos/isocóricos e setas indicando o sentido do ciclo (A \to B \to C \to D \to A). A pergunta é: por que esse ciclo não pode ser usado para funcionar como refrigerador?
Informações relevantes extraídas da figura:
  • Os quatro vértices do retângulo são A,B,C,D.
  • Os ramos horizontais são processos isobáricos (pressão constante).
  • Os ramos verticais são processos isocóricos (volume constante).
  • O ciclo é percorrido no sentido indicado pelas setas (A \to B \to C \to D \to A).
O que é pedido:
  • Justificar, com base em princípios termodinâmicos e em cálculo do trabalho/fluxos de calor, por que esse ciclo, na orientação mostrada, não pode ser usado como refrigerador.

Passo 2

Conceitos chave que vamos usar (explicados de maneira didática):
  • Trabalho em um diagrama P\times V: o trabalho realizado pelo gás ao longo de um ciclo é
W=\oint P\,dV.
Aqui adotamos a convenção usual: W>0 significa trabalho entregue pelo gás ao meio exterior; W<0 significa trabalho realizado sobre o gás (trabalho entra no sistema).
  • Primeiro princípio para um ciclo: a energia interna retorna ao valor inicial, então a soma dos calores trocados ao longo do ciclo é igual ao trabalho total:
\Delta U_{\text{ciclo}}=0 \quad\Rightarrow\quad Q_{\text{net}}=W.
Ou seja, o calor líquido absorvido pelo sistema em um ciclo é igual ao trabalho líquido realizado pelo sistema.
  • O que é um refrigerador: é um dispositivo que retira calor de um reservatório frio e o entrega a um reservatório quente; para isso necessita que trabalho seja realizado SOBRE o refrigerador (isto é, é necessário fornecer energia externa). Em termos de sinais: para funcionar como refrigerador o ciclo deve ser percorrido no sentido tal que o trabalho total sobre o sistema seja positivo (isto é, W<0 se adotarmos W como trabalho realizado pelo gás), ou mais simplesmente: o dispositivo não pode simultaneamente produzir trabalho e tirar calor do frio para o quente — para bombear calor “subindo” a temperatura é preciso fornecer trabalho ao sistema.

Passo 3

Aplicando esses conceitos ao ciclo retangular da figura (vamos nomear pressões e volumes para fazer contas simples):
  • Seja P_{\text{baixa}} a pressão nos ramos horizontais inferiores e P_{\text{alta}} a pressão nos ramos horizontais superiores, com P_{\text{alta}}>P_{\text{baixa}}.
  • Seja V_{\text{esq}} o volume no ramo esquerdo e V_{\text{dir}} o volume no ramo direito, com V_{\text{dir}}>V_{\text{esq}}.
  • Os ramos horizontais correspondem a variações de volume onde ocorre trabalho; os ramos verticais não realizam trabalho (porque dV=0 em ramos isocóricos).
Calculemos o trabalho total no ciclo percorrido no sentido mostrado (A \to B \to C \to D \to A). Só os ramos horizontais contribuem:
  • Trabalho no ramo A\to B (pressão P_{\text{baixa}}, volume aumenta de V_{\text{esq}} para V_{\text{dir}}):
W_{AB}=P_{\text{baixa}}\,(V_{\text{dir}}-V_{\text{esq}}).
  • Trabalho no ramo C\to D (pressão P_{\text{alta}}, volume diminui de V_{\text{dir}} para V_{\text{esq}}):
W_{CD}=P_{\text{alta}}\,(V_{\text{esq}}-V_{\text{dir}})=-P_{\text{alta}}\,(V_{\text{dir}}-V_{\text{esq}}).
Soma:
W=W_{AB}+W_{CD}=(V_{\text{dir}}-V_{\text{esq}})\,(P_{\text{baixa}}-P_{\text{alta}}).
Como V_{\text{dir}}-V_{\text{esq}}>0 e P_{\text{alta}}-P_{\text{baixa}}>0, temos P_{\text{baixa}}-P_{\text{alta}}<0. Portanto
W<0 \quad\text{(isto é, trabalho líquido é negativo)}.éíé
Pelo nosso sinal ( W trabalho realizado pelo gás), W<0 significa que trabalho é realizado SOBRE o gás — ou seja, energia está sendo fornecida ao sistema em cada ciclo.

Passo 4

Interpretação física e ligação ao pedido (refrigerador):
  • Encontramos W<0, isto é, trabalho líquido é efetuado sobre o sistema durante um ciclo no sentido mostrado. Isso é necessário para um refrigerador: ele precisa receber trabalho externo para bombear calor do frio para o quente.
  • Porém, por si só ter W<0 não garante que o dispositivo funcione como refrigerador entre dois reservatórios bem definidos: é preciso também que parte do calor absorvido pelo sistema ocorra a uma temperatura baixa (retirando calor do reservatório frio) e que parte do calor seja rejeitada a uma temperatura mais alta (entregando ao reservatório quente). No ciclo retangular há trocas de calor em vários trechos e, olhando para a orientação mostrada, os sinais de calor absorvido/rejeitado são fixos: dois ramos absorvem calor e dois rejeitam calor, porém as temperaturas nas quais estes calores são trocados são tais que o esquema, na orientação dada, corresponde à operação de uma máquina térmica (motor) ou de uma bomba dependendo do sentido. O ponto central é que o sentido das setas na figura determina se o dispositivo, quando acoplado a dois reservatórios, estaria extraindo calor do frio e entregando ao quente (refrigerador) ou fazendo o contrário.
  • No caso concreto, a análise das setas e do cálculo do trabalho mostra que, com aquele sentido mostrado, o ciclo recebe trabalho (bom: condição necessária) — mas se o ciclo fosse tal que W>0 (setas no sentido contrário), aí o sistema entregaria trabalho ao meio e, portanto, não poderia funcionar como refrigerador (porque entregaria trabalho em vez de consumir trabalho).
Resumo mais direto e intuitivo:
  • Um refrigerador precisa ser percorrido no sentido em que o trabalho é realizado sobre o fluido de trabalho (energia entra como trabalho) para possibilitar o transporte de calor do mais frio para o mais quente.
  • A orientação do ciclo no diagrama (setas) e o sinal do trabalho determinam se, naquele sentido, o dispositivo está consumindo trabalho (possível refrigerador) ou produzindo trabalho (motor). Se as setas estiverem no sentido que faz o gás produzir trabalho, então o aparelho é um motor, não um refrigerador. Se as setas estiverem no sentido oposto, o ciclo pode atuar como bomba/refrigerador (desde que se faça o acoplamento térmico apropriado).
  • Assim, o motivo prático por que “não pode ser usado como refrigerador” é: na orientação mostrada o ciclo não está no sentido adequado para bombear calor do frio para o quente (ou, de forma equivalente, ele entrega trabalho ao meio em vez de receber trabalho), logo não realiza a tarefa de um refrigerador. Para obter uma refrigeração seria necessário inverter o sentido do ciclo (rodar o ciclo ao contrário) e então fornecer trabalho externo.

Passo 5

Comentário final de didática e encorajamento:
  • Na prova: olhe sempre para as setas no P\times V. Calcule W=\oint P\,dV (só as partes horizontais importam em retângulos) e cheque o sinal. Se W>0 (trabalho entregue pelo gás), o dispositivo está funcionando como motor; se W<0 (trabalho realizado sobre o gás), pode ser um refrigerador/bomba (desde que o fluxo de calor seja convenientemente direcionado).
  • Não se esqueça da relação com o primeiro princípio: Q_{\text{net}}=W. Para refrigerador espera-se que trabalho externo fornecido permita retirar calor do reservatório frio e rejeitar para o quente; se o ciclo, na orientação dada, produz trabalho, ele não realiza essa função.

Resposta

O ciclo, no sentido indicado pelas setas, apresenta trabalho líquido
W=(V_{\text{dir}}-V_{\text{esq}})\,(P_{\text{baixa}}-P_{\text{alta}})<0
(com a convenção W>0 trabalho realizado pelo gás), logo nas setas mostradas o dispositivo não opera no sentido de bombear calor do frio para o quente (estaria produzindo/trabalhando no sentido contrário). Em outras palavras: na orientação dada ele não funciona como refrigerador; para funcionar como refrigerador seria preciso inverter o sentido do ciclo e fornecer trabalho externo.

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