Questão 2. A região
tem
. Se
e
, encontre a distribuição de potencial, o campo elétrico E em todos os pontos e a densidade superficial em
e
.
Passo 1
Dados e o que o enunciado pede:
- Região considerada:
. - Densidade volumétrica de carga fornecida:
para . - Condições de contorno para o potencial:
e . - Perguntas: encontre
- a distribuição do potencial
na região entre as placas; - o campo elétrico
em todos os pontos (isto é, para , e ); - as densidades superficiais de carga nas superfícies em
e .
- a distribuição do potencial
Observação importante (apenas identificação do que falta para interpretar as densidades superficiais): como o enunciado fixa
em
e
, é natural interpretar essas superfícies como placas condutoras mantidas nesses potenciais; portanto o campo elétrico dentro dessas placas (fora da região
) é zero, e usaremos essa condição ao calcular as densidades superficiais. Se a intenção fosse outra, deveriam ter dado informação adicional; aqui seguimos a interpretação usual de placas condutoras em
e
.
Passo 2
Escolha da equação a usar e interpretação física
- Em eletrostática, a relação entre potencial
e densidade de carga volumétrica numa região é dada pela equação de Poisson unidimensional:
Explicando:
é a permissividade do vácuo;
é carga por unidade de volume;
em coordenada
reduz-se a
porque as grandezas só variam com
.
- Vamos aplicar essa equação com
para . Fora dessa região ( e ) não há carga (assumimos ), logo ali e o campo é uniforme (neste caso, por sermos placas condutoras, será zero).
Passo 3
Escrever explicitamente a equação de Poisson dentro da região carregada e integrar uma vez
- Para
temos
- Integramos esta equação uma vez em
para obter . Realizando a integração:
onde
é constante de integração. Vou expandir um pouco para ficar claro:
- Relação com o campo: o campo elétrico (componente
) é . Então, por enquanto, dentro da região:
Passo 4
Integrar uma segunda vez para obter
(dentro de
) e escrever a expressão geral
- Integramos
para obter :
onde
é outra constante de integração.
- Fazendo as integrações termo a termo:
- Simplificando os coeficientes:
- Agora vamos usar as condições de contorno
e para determinar e .
Passo 5
Aplicar
e
para achar as constantes
e
- Em
:
Logo
.
- Em
:
Calculemos os dois primeiros termos combinados:
logo
- Impor
dá
Passo 6
Substituir
em
e obter expressão final para o potencial na região
- Colocando
e em temos
- Para ficar mais legível, escrevo novamente em forma agrupada:
mas a forma anterior já é boa para cálculo direto.
Passo 7
Encontrar o campo
dentro da região a partir de
e simplificar
- Derivando a expressão de
(ou usando a expressão já integrada para com conhecido) obtemos para :
- Verificação rápida: este
foi obtido substituindo na expressão geral que tínhamos após a primeira integração; a forma acima é compacta e correta.
Passo 8
Campo elétrico fora da região carregada (
e
) e interpretação física
- Fora da região carregada não há densidade volumétrica, então
e o campo é constante. Como fixamos e por placas condutoras, o campo dentro do metal das placas é nulo; portanto, imediatamente fora das faces internas das placas (nas regiões externas), o campo é zero. Assim:
- As potenciais fora são constantes iguais às dos condutores:
Passo 9
Encontrar as densidades superficiais
em
e
usando a descontinuidade do campo
- A condição de contorno para o campo normal numa interface que contém uma densidade superficial
é
onde “fora” indica o lado externo ao dielétrico/condutor e “dentro” o lado interno (na nossa convenção, usando o componente
apontando para +x). Para as placas condutoras,
(campo no condutor) e
é o campo no dielétrico justo dentro, obtido pela expressão de
em
.
- Em
: e . Logo
Mas como estamos interessados na densidade superficial sobre a face do condutor (sinal convencional), é mais simples usar
. Substituindo
e avaliando
pela fórmula do passo 7:
Portanto
Se preferir a forma com sinal trocado (densidade na face interna com orientação para +x), pode-se também escrever
dependendo da convenção de sinal. Aqui adotaremos a forma física: carga no condutor de tal que
. Como
, a expressão anterior é consistente.
- Em
: similarmente, e . Avaliando pela fórmula do passo 7:
Calcule o parêntese:
Logo
Aplicando a condição de salto:
- Observação de consistência (cheque rápido, não essencial na prova): a carga volumétrica total é
enquanto
. Note que, dependendo da convenção de sinal para
(sinal interno vs sinal da superfície do condutor), a soma das cargas superficiais mais a carga volumétrica resultará em neutralidade global, como deve acontecer se considerarmos corretamente as orientações; o cálculo explícito anterior mostrou consistência dos módulos dos termos de
(veja passo de verificação ao final do raciocínio).