\mathrm{x}=2 \mathrm{t}, \mathrm{y}=3 \sin \mathrm{t}, \mathrm{z}=3 \cos \mathrm{t}. a) Determinar a equação da trajectória espacial. b) Calcular o raio de curvatura e o módulo da velocidade. c) Determinar o tipo de movimento.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas paramétricas da curva em função de t:
x=2t,\qquad y=3\sin t,\qquad z=3\cos t.
As perguntas são:
a) Determinar a equação da trajetória espacial (ou seja, eliminar o parâmetro e/ou descrever geometricamente a curva).
b) Calcular o raio de curvatura e o módulo da velocidade.
c) Determinar o tipo de movimento (ou seja, que curva é essa e se o movimento é, por exemplo, uniforme, helicoidal, circular, retilíneo etc.).
Informações relevantes dadas: as três componentes x(t),y(t),z(t) explícitas para todo t. Não há mais dados numéricos adicionais.

Passo 2

Primeiro vamos interpretar geometricamente as componentes \;y=3\sin t\; e \;z=3\cos t\;.
  • Relembrando: para todo t vale \sin^2 t+\cos^2 t=1.
  • Multiplicando por 3^2=9 obtemos \;9\sin^2 t+9\cos^2 t=9\;, isto é:
y^2+z^2=9.
Isto mostra que os pontos da curva estão sempre sobre o cilindro circular de raio 3 com eixo paralelo ao eixo x. Anotei isto porque é parte da equação da trajetória.

Passo 3

Ainda sobre eliminar o parâmetro: temos x=2t, portanto podemos escrever t em função de x como
t=\frac{x}{2}.
Substituindo na expressão de y e z obtemos a relação explícita em termos de x:
y=3\sin\!\left(\frac{x}{2}\right),\qquad z=3\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Essas duas escritas (a implícita y^2+z^2=9 e a explícita acima) descrevem a mesma trajetória no espaço.

Passo 4

Agora vamos calcular a velocidade (vetor velocidade) e seu módulo.
Definição prática: para uma curva \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) o vetor velocidade é \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) e o módulo da velocidade é \|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}.
Derivando as componentes:
\mathbf{r}'(t)=\big(2,\;3\cos t,\;-3\sin t\big).
Agora o módulo:
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{2^2+(3\cos t)^2+(-3\sin t)^2} =\sqrt{4+9(\cos^2 t+\sin^2 t)} =\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
Observação importante: o módulo da velocidade é constante igual a \sqrt{13}. Em linguagem física, a partícula move-se com velocidade escalar constante.

Passo 5

Para calcular a curvatura \kappa(t) (e daí o raio de curvatura \rho=1/\kappa) vamos usar a fórmula prática para curvas suaves:
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^3}.
Vou explicar cada coisa:
  • \mathbf{r}''(t) é a derivada do vetor velocidade (aceleração).
  • \times é o produto vetorial; o módulo de \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' mede “quanto” \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' não são paralelos — está ligado à curvatura.
  • O denominador \|\mathbf{r}'\|^3 normaliza pela velocidade.
Calculemos \mathbf{r}''(t):
\mathbf{r}''(t)=\big(0,\;-3\sin t,\;-3\cos t\big).

Passo 6

Agora o produto vetorial \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''.
Usando a regra (para (a,b,c)\times(d,e,f)=(bf-ce,\;cd-af,\;ae-bd)) com
\mathbf{r}'=(2,\,3\cos t,\,-3\sin t) e \mathbf{r}''=(0,\,-3\sin t,\,-3\cos t), obtemos:
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=\big(-9,\;6\cos t,\;-6\sin t\big).
Expliquei as componentes: por exemplo a primeira componente é (3\cos t)(-3\cos t)-(-3\sin t)(-3\sin t)=-9(\cos^2 t+\sin^2 t)=-9.
Agora o módulo do produto vetorial:
\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|=\sqrt{(-9)^2+(6\cos t)^2+(-6\sin t)^2} =\sqrt{81+36(\cos^2 t+\sin^2 t)} =\sqrt{81+36}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula da curvatura usando \|\mathbf{r}'\|=\sqrt{13}:
\kappa(t)=\frac{3\sqrt{13}}{(\sqrt{13})^3}=\frac{3\sqrt{13}}{13\sqrt{13}}=\frac{3}{13}.
A curvatura é constante e igual a \dfrac{3}{13}. O raio de curvatura \rho é o inverso:
\rho=\frac{1}{\kappa}=\frac{13}{3}.

Passo 8

Comentário físico/geométrico sobre a curvatura e velocidade: como \|\mathbf{r}'\| é constante e \kappa é constante, a partícula descreve uma curva com curvatura fixa e percorre essa curva com velocidade escalar constante — isto é típico de uma hélice circular com passo uniforme.
Se quiser confirmar que é uma hélice circular “pura”, podemos calcular a torção \tau (opcional) pela fórmula
\tau(t)=\frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}''' }{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^2}.
Derivando novamente:
\mathbf{r}'''(t)=\big(0,\;-3\cos t,\;3\sin t\big).
O produto escalar é
(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}''' = (-9)\cdot 0 + (6\cos t)(-3\cos t)+(-6\sin t)(3\sin t)=-18(\cos^2 t+\sin^2 t)=-18.
E \|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^2=(3\sqrt{13})^2=117. Logo
\tau(t)=\frac{-18}{117}=-\frac{2}{13},
constante também (o sinal depende da orientação do parâmetro). Curvatura e torção constantes, ambos não nulos, caracterizam uma hélice circular.

Passo 9

Resumo físico simples sobre o tipo de movimento:
  • A curva é uma hélice circular com raio 3 cujo eixo é paralelo ao eixo x.
  • A velocidade escalar é constante \sqrt{13}, logo o movimento é uniforme ao longo da hélice (movimento helicoidal uniforme).
  • Avanço por volta: quando t cresce de 0 a 2\pi a coordenada x aumenta de \Delta x=2\cdot 2\pi=4\pi; esse é o passo (pitch) da hélice por volta.

Resposta

a) y^2+z^2=9 e, equivalente, y=3\sin\!\big(\dfrac{x}{2}\big),\;z=3\cos\!\big(\dfrac{x}{2}\big).
b) Raio de curvatura \rho=\dfrac{13}{3}. Módulo da velocidade \|\mathbf{v}\|=\sqrt{13}.
c) Movimento: hélice circular (movimento helicoidal uniforme) de raio 3 e passo por volta 4\pi; curvatura \kappa=\dfrac{3}{13} e torção \tau=-\dfrac{2}{13} (constantes).

Exercícios relacionados