. a) Determinar a equação da trajectória espacial. b) Calcular o raio de curvatura e o módulo da velocidade. c) Determinar o tipo de movimento.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas paramétricas da curva em função de
:
As perguntas são:
a) Determinar a equação da trajetória espacial (ou seja, eliminar o parâmetro e/ou descrever geometricamente a curva).
b) Calcular o raio de curvatura e o módulo da velocidade.
c) Determinar o tipo de movimento (ou seja, que curva é essa e se o movimento é, por exemplo, uniforme, helicoidal, circular, retilíneo etc.).
a) Determinar a equação da trajetória espacial (ou seja, eliminar o parâmetro e/ou descrever geometricamente a curva).
b) Calcular o raio de curvatura e o módulo da velocidade.
c) Determinar o tipo de movimento (ou seja, que curva é essa e se o movimento é, por exemplo, uniforme, helicoidal, circular, retilíneo etc.).
Informações relevantes dadas: as três componentes
explícitas para todo
. Não há mais dados numéricos adicionais.
Passo 2
Primeiro vamos interpretar geometricamente as componentes
e
.
- Relembrando: para todo
vale . - Multiplicando por
obtemos , isto é:
Isto mostra que os pontos da curva estão sempre sobre o cilindro circular de raio
com eixo paralelo ao eixo
. Anotei isto porque é parte da equação da trajetória.
Passo 3
Ainda sobre eliminar o parâmetro: temos
, portanto podemos escrever
em função de
como
Substituindo na expressão de
e
obtemos a relação explícita em termos de
:
Essas duas escritas (a implícita
e a explícita acima) descrevem a mesma trajetória no espaço.
Passo 4
Agora vamos calcular a velocidade (vetor velocidade) e seu módulo.
Definição prática: para uma curva o vetor velocidade é
e o módulo da velocidade é
.
Definição prática: para uma curva
Derivando as componentes:
Agora o módulo:
Observação importante: o módulo da velocidade é constante igual a
. Em linguagem física, a partícula move-se com velocidade escalar constante.
Passo 5
Para calcular a curvatura
(e daí o raio de curvatura
) vamos usar a fórmula prática para curvas suaves:
Vou explicar cada coisa:
-
é a derivada do vetor velocidade (aceleração). -
é o produto vetorial; o módulo de mede “quanto” e não são paralelos — está ligado à curvatura. - O denominador
normaliza pela velocidade.
Calculemos
:
Passo 6
Agora o produto vetorial
.
Usando a regra (para ) com
e
, obtemos:
Usando a regra (para
Expliquei as componentes: por exemplo a primeira componente é
.
Agora o módulo do produto vetorial:
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula da curvatura usando
:
A curvatura é constante e igual a
. O raio de curvatura
é o inverso:
Passo 8
Comentário físico/geométrico sobre a curvatura e velocidade: como
é constante e
é constante, a partícula descreve uma curva com curvatura fixa e percorre essa curva com velocidade escalar constante — isto é típico de uma hélice circular com passo uniforme.
Se quiser confirmar que é uma hélice circular “pura”, podemos calcular a torção
(opcional) pela fórmula
Derivando novamente:
O produto escalar é
E
. Logo
constante também (o sinal depende da orientação do parâmetro). Curvatura e torção constantes, ambos não nulos, caracterizam uma hélice circular.
Passo 9
Resumo físico simples sobre o tipo de movimento:
- A curva é uma hélice circular com raio
cujo eixo é paralelo ao eixo . - A velocidade escalar é constante
, logo o movimento é uniforme ao longo da hélice (movimento helicoidal uniforme). - Avanço por volta: quando
cresce de a a coordenada aumenta de ; esse é o passo (pitch) da hélice por volta.
Resposta
a)
e, equivalente,
b) Raio de curvatura . Módulo da velocidade
c) Movimento: hélice circular (movimento helicoidal uniforme) de raio e passo por volta
; curvatura
e torção
(constantes).
b) Raio de curvatura
c) Movimento: hélice circular (movimento helicoidal uniforme) de raio