\mathrm{x}=\mathrm{t}-\sin \mathrm{t}, \mathrm{y}=1-\cos \mathrm{t}. a) Determinar a equação da trajectória. b) Calcular o raio de curvatura. c) Identificar a natureza do movimento.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas paramétricas
x = t - \sin t,\qquad y = 1 - \cos t,
e pede três coisas:
Determinar a equação da trajetória (ou seja, eliminar o parâmetro t e descrever a curva).
Calcular o raio de curvatura da curva (função de t ou de y).
Identificar a natureza do movimento (tipo de curva, pontos especiais, comportamento do movimento).
Informações relevantes dadas: as duas expressões paramétricas acima contêm funções trigonométricas usuais; t é o parâmetro (que aqui pode ser interpretado como tempo). Não há outras condições adicionais.
Passo 2
Interpretação direta e eliminação parcial do parâmetro — começando pelo que é mais simples: isolamos \cos t e \sin t a partir das definições.
Da expressão de y temos
\cos t = 1 - y.
Usando a identidade trigonométrica \sin^2 t + \cos^2 t = 1 obtemos
\sin t = \pm\sqrt{1-\cos^2 t} = \pm\sqrt{1-(1-y)^2}=\pm\sqrt{2y-y^2}.
Agora usemos a expressão de x:
x = t - \sin t \quad\Longrightarrow\quad t = x + \sin t.
Substituindo \sin t em termos de y obtemos a relação implícita (para um ramo apropriado do sinal)
t = x \pm \sqrt{2y-y^2},
e lembrando que t também satisfaz \cos t = 1-y (ou seja, t=\operatorname{arccos}(1-y)+2k\pi ou o simétrico). Portanto não existe uma expressão algébrica simples e única y=y(x) válida globalmente; a curva é melhor descrita parametricamente.
Uma forma prática e habitual de escrever a equação da trajetória (num único arco, por exemplo t\in[0,2\pi]) é resolver para t pela inversa do cosseno e substituir o sinal adequado:
x = \operatorname{arccos}(1-y)-\sqrt{2y-y^2},\qquad 0\le y\le 2,
onde o sinal e o ramo de \operatorname{arccos} são escolhidos conforme o intervalo de t. Mas a descrição mais clara e completa é manter a parametrização original
x(t)=t-\sin t,\qquad y(t)=1-\cos t,
que já caracteriza totalmente a trajetória.
Comentário conceitual (importante): essa parametrização é a parametrização padrão do ciclóide gerada por um ponto na circunferência de um círculo de raio 1 que rola sem deslizamento sobre a reta horizontal. Então a resposta a (a) pode ser dada dizendo: "a trajetória é um ciclóide de raio 1", além das relações paramétricas acima.
Passo 3
Agora vamos calcular o raio de curvatura. Primeiro lembro a fórmula de curvatura para uma curva paramétrica (x(t),y(t)):
O raio de curvatura \rho(t) é o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.
Explico cada termo: x'(t),y'(t) são as derivadas primeiras (componentes da velocidade), x''(t),y''(t) as segundas derivadas (componentes da aceleração). O numerador é o módulo do determinante formado por velocidade e aceleração; o denominador normaliza pela velocidade ao cubo — essa é a forma padrão para curvatura em parametrização arbitrária.
Passo 4
Calculemos as derivadas da nossa curva passo a passo (não suponho que você lembre de cabeça — vamos derivar devagar).
Derivadas primeiras:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t-\sin t\bigr)=1-\cos t,
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(1-\cos t\bigr)=\sin t.
Derivadas segundas:
x''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(1-\cos t\bigr)=\sin t,
y''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\sin t\bigr)=\cos t.
Agora o numerador da curvatura:
x'y''-y'x''=(1-\cos t)\cos t-\sin t\cdot\sin t.
Vamos simplificar essa expressão: calculemos termo a termo
A rapidez zera quando \sin\frac{t}{2}=0, isto é, para t=2k\pi. Nesses instantes o ponto está momentaneamente em repouso — são os cúspides do ciclóide (o ponto toca a linha sobre a qual o círculo rola).
A curva é periódica com período 2\pi no parâmetro t. De fato
Isso mostra que a curva repete-se horizontalmente deslocada por 2\pi (o comprimento do arco por período é finito, e a “passagem” de uma crista à próxima avança 2\pi em x).
Nos pontos onde y=0 (ou t=2k\pi) temos \rho=0 e \kappa\to\infty: são cúspides (pontos angulosos onde a tangente não é bem definida) — característica típica do ciclóide.
A curva é precisamente o locus de um ponto na circunferência de um círculo de raio 1 que rola sem escorregamento sobre uma linha reta. Logo a “natureza do movimento” é o movimento ciclóide (não-uniforme, periódico, com paradas instantâneas nos cúspides).
Em linguagem motivacional: é aquele famoso cicloide que aparece em exercícios de física e geometria — curva bonita e com cúspides — não se assuste com as trigonometria: tudo se reduz a usar identidades básicas e a fórmula da curvatura que aplicamos.
Resposta
(a) A trajetória é o ciclóide de raio 1, dada parametricamente por
(c) Natureza do movimento: é o movimento de uma partícula fixada na borda de um círculo de raio 1 que rola sem deslizamento — ou seja, um ciclóide. O movimento é periódico de período 2\pi, não uniforme, com paradas instantâneas (cúspides) para t=2k\pi (onde a rapidez =2|\sin(t/2)| zera).