\mathrm{x}=\mathrm{t}-\sin \mathrm{t}, \mathrm{y}=1-\cos \mathrm{t}. a) Determinar a equação da trajectória. b) Calcular o raio de curvatura. c) Identificar a natureza do movimento.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas paramétricas
x = t - \sin t,\qquad y = 1 - \cos t,
e pede três coisas:
  1. Determinar a equação da trajetória (ou seja, eliminar o parâmetro t e descrever a curva).
  2. Calcular o raio de curvatura da curva (função de t ou de y).
  3. Identificar a natureza do movimento (tipo de curva, pontos especiais, comportamento do movimento).
Informações relevantes dadas: as duas expressões paramétricas acima contêm funções trigonométricas usuais; t é o parâmetro (que aqui pode ser interpretado como tempo). Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Interpretação direta e eliminação parcial do parâmetro — começando pelo que é mais simples: isolamos \cos t e \sin t a partir das definições.
Da expressão de y temos
\cos t = 1 - y.
Usando a identidade trigonométrica \sin^2 t + \cos^2 t = 1 obtemos
\sin t = \pm\sqrt{1-\cos^2 t} = \pm\sqrt{1-(1-y)^2}=\pm\sqrt{2y-y^2}.
Agora usemos a expressão de x:
x = t - \sin t \quad\Longrightarrow\quad t = x + \sin t.
Substituindo \sin t em termos de y obtemos a relação implícita (para um ramo apropriado do sinal)
t = x \pm \sqrt{2y-y^2},
e lembrando que t também satisfaz \cos t = 1-y (ou seja, t=\operatorname{arccos}(1-y)+2k\pi ou o simétrico). Portanto não existe uma expressão algébrica simples e única y=y(x) válida globalmente; a curva é melhor descrita parametricamente.
Uma forma prática e habitual de escrever a equação da trajetória (num único arco, por exemplo t\in[0,2\pi]) é resolver para t pela inversa do cosseno e substituir o sinal adequado:
x = \operatorname{arccos}(1-y)-\sqrt{2y-y^2},\qquad 0\le y\le 2,
onde o sinal e o ramo de \operatorname{arccos} são escolhidos conforme o intervalo de t. Mas a descrição mais clara e completa é manter a parametrização original
x(t)=t-\sin t,\qquad y(t)=1-\cos t,
que já caracteriza totalmente a trajetória.
Comentário conceitual (importante): essa parametrização é a parametrização padrão do ciclóide gerada por um ponto na circunferência de um círculo de raio 1 que rola sem deslizamento sobre a reta horizontal. Então a resposta a (a) pode ser dada dizendo: "a trajetória é um ciclóide de raio 1", além das relações paramétricas acima.

Passo 3

Agora vamos calcular o raio de curvatura. Primeiro lembro a fórmula de curvatura para uma curva paramétrica (x(t),y(t)):
Fórmula: a curvatura \kappa(t) é dada por
\kappa(t)=\frac{|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.
O raio de curvatura \rho(t) é o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.
Explico cada termo: x'(t),y'(t) são as derivadas primeiras (componentes da velocidade), x''(t),y''(t) as segundas derivadas (componentes da aceleração). O numerador é o módulo do determinante formado por velocidade e aceleração; o denominador normaliza pela velocidade ao cubo — essa é a forma padrão para curvatura em parametrização arbitrária.

Passo 4

Calculemos as derivadas da nossa curva passo a passo (não suponho que você lembre de cabeça — vamos derivar devagar).
Derivadas primeiras:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t-\sin t\bigr)=1-\cos t,
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(1-\cos t\bigr)=\sin t.
Derivadas segundas:
x''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(1-\cos t\bigr)=\sin t,
y''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\sin t\bigr)=\cos t.
Agora o numerador da curvatura:
x'y''-y'x''=(1-\cos t)\cos t-\sin t\cdot\sin t.
Vamos simplificar essa expressão: calculemos termo a termo
(1-\cos t)\cos t = \cos t -\cos^2 t,
e
\sin^2 t = 1-\cos^2 t.
Então
x'y''-y'x''=\bigl(\cos t-\cos^2 t\bigr)-\bigl(1-\cos^2 t\bigr)=\cos t-\cos^2 t-1+\cos^2 t=\cos t-1.
Portanto o módulo do numerador é
|x'y''-y'x''|=|\,\cos t-1\,|=1-\cos t,
porque \cos t\le 1 e 1-\cos t\ge0.
Agora o denominador: primeiro calculemos x'^2+y'^2:
x'^2+y'^2=(1-\cos t)^2+\sin^2 t.
Expanda e use a identidade \sin^2 t+\cos^2 t=1:
(1-\cos t)^2+\sin^2 t = 1-2\cos t+\cos^2 t+\sin^2 t = 2-2\cos t = 2(1-\cos t).
Então
\bigl(x'^2+y'^2\bigr)^{3/2}=\bigl(2(1-\cos t)\bigr)^{3/2}=2^{3/2}\,(1-\cos t)^{3/2}=2\sqrt{2}\,(1-\cos t)^{3/2}.
Agora a curvatura:
\kappa(t)=\frac{1-\cos t}{2\sqrt{2}\,(1-\cos t)^{3/2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}\,(1-\cos t)^{1/2}}.
Como y=1-\cos t, podemos reescrever em função de y:
\kappa=\frac{1}{2\sqrt{2}\,\sqrt{y}}.
Finalmente o raio de curvatura \rho=1/\kappa:
\rho(t)=2\sqrt{2}\,\sqrt{1-\cos t}=2\sqrt{2}\,\sqrt{y}.
Podemos dar também uma forma trigonométrica usando a identidade 1-\cos t=2\sin^2\!\dfrac{t}{2}:
\rho(t)=2\sqrt{2}\,\sqrt{2}\,\bigl|\sin\frac{t}{2}\bigr|=4\bigl|\sin\frac{t}{2}\bigr|.
Resumo útil: as formas equivalentes são
\rho(t)=2\sqrt{2}\,\sqrt{1-\cos t}=2\sqrt{2}\,\sqrt{y}=4\bigl|\sin\frac{t}{2}\bigr|.
Essas expressões são todas a mesma coisa; escolha a que for mais conveniente.

Passo 5

Interpretação física e identificação da natureza do movimento — vamos olhar para a velocidade, períodos e pontos especiais.
Velocidade (vetor) e rapidez (módulo):
\mathbf{v}(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos t,\\ \sin t).
O módulo da velocidade (rapidez) é
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2 t}=\sqrt{2(1-\cos t)}.
Usando 1-\cos t=2\sin^2\!\dfrac{t}{2} ficamos com
\|\mathbf{v}(t)\|=2\bigl|\sin\frac{t}{2}\bigr|.
Observações importantes:
  • A rapidez zera quando \sin\frac{t}{2}=0, isto é, para t=2k\pi. Nesses instantes o ponto está momentaneamente em repouso — são os cúspides do ciclóide (o ponto toca a linha sobre a qual o círculo rola).
  • A curva é periódica com período 2\pi no parâmetro t. De fato
x(t+2\pi)=t+2\pi-\sin(t+2\pi)=x(t)+2\pi,\qquad y(t+2\pi)=y(t).
Isso mostra que a curva repete-se horizontalmente deslocada por 2\pi (o comprimento do arco por período é finito, e a “passagem” de uma crista à próxima avança 2\pi em x).
  • Nos pontos onde y=0 (ou t=2k\pi) temos \rho=0 e \kappa\to\infty: são cúspides (pontos angulosos onde a tangente não é bem definida) — característica típica do ciclóide.
  • A curva é precisamente o locus de um ponto na circunferência de um círculo de raio 1 que rola sem escorregamento sobre uma linha reta. Logo a “natureza do movimento” é o movimento ciclóide (não-uniforme, periódico, com paradas instantâneas nos cúspides).
Em linguagem motivacional: é aquele famoso cicloide que aparece em exercícios de física e geometria — curva bonita e com cúspides — não se assuste com as trigonometria: tudo se reduz a usar identidades básicas e a fórmula da curvatura que aplicamos.

Resposta

(a) A trajetória é o ciclóide de raio 1, dada parametricamente por
x(t)=t-\sin t,\qquad y(t)=1-\cos t.
Uma forma implícita (ramo em t\in[0,2\pi]) é
x=\operatorname{arccos}(1-y)-\sqrt{2y-y^2},\qquad 0\le y\le 2.
(b) O raio de curvatura é
\rho(t)=2\sqrt{2}\,\sqrt{1-\cos t}=2\sqrt{2}\,\sqrt{y}=4\bigl|\sin\frac{t}{2}\bigr|.
(c) Natureza do movimento: é o movimento de uma partícula fixada na borda de um círculo de raio 1 que rola sem deslizamento — ou seja, um ciclóide. O movimento é periódico de período 2\pi, não uniforme, com paradas instantâneas (cúspides) para t=2k\pi (onde a rapidez =2|\sin(t/2)| zera).

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