Represente a épura da reta r, definida pelos pontos F(2,5,1) e G(6,1,-1) e depois encontre nela os pontos:
A) A(4, ?, ?)
B) B(?, 4, ?)
C) C(?, ?, 2)
D) D(?, 0, ?)
Passo 1
O enunciado pede a representação paramétrica (épura) da reta r que passa pelos pontos F(2,5,1) e G(6,1,-1), e em seguida determinar sobre essa reta os pontos
A) A(4,\,?,\,?)
B) B(\?,\,4,\,?)
C) C(\?,\,?,\,2)
D) D(\?,\,0,\,?).
Passo 2
Para achar a épura, primeiro calculamos o vetor diretor
\overrightarrow{FG}=G - F = (6-2,\;1-5,\;-1-1) = (4,\,-4,\,-2).
Chamando o parâmetro de t e usando F como ponto de partida, temos
\begin{cases} x = 2 + 4t,\\\ y = 5 - 4t,\\\ z = 1 - 2t. \end{cases}
Passo 3
Para o ponto A dado por x=4, impomos
2 + 4t = 4 \quad\Longrightarrow\quad t = \tfrac{1}{2}.
Então
y = 5 - 4\bigl(\tfrac12\bigr) = 3, \quad z = 1 - 2\bigl(\tfrac12\bigr) = 0.
Logo A = (4,\,3,\,0).
Passo 4
Para o ponto B com y=4, impomos
5 - 4t = 4 \quad\Longrightarrow\quad t = \tfrac{1}{4}.
Logo
x = 2 + 4\bigl(\tfrac14\bigr) = 3, \quad z = 1 - 2\bigl(\tfrac14\bigr) = \tfrac12.
Logo B = (3,\,4,\,\tfrac12).
Passo 5
Para o ponto C com z=2, impomos
1 - 2t = 2 \quad\Longrightarrow\quad t = -\tfrac{1}{2}.
Então
x = 2 + 4\bigl(-\tfrac12\bigr) = 0, \quad y = 5 - 4\bigl(-\tfrac12\bigr) = 7.
Logo C = (0,\,7,\,2).
Passo 6
Para o ponto D com y=0, impomos
5 - 4t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \tfrac{5}{4}.
Em seguida
x = 2 + 4\bigl(\tfrac54\bigr) = 7, \quad z = 1 - 2\bigl(\tfrac54\bigr) = -\tfrac{3}{2}.
Logo D = (7,\,0,\,-\tfrac{3}{2}).
Resposta
A) (4,\,3,\,0)
B) (3,\,4,\,\tfrac12)
C) (0,\,7,\,2)
D) (7,\,0,\,-\tfrac{3}{2})